D5-2多元函数的极限连续性.ppt

第二节第五章

多元函数的基本概念

一、多元函数的概念

二、多元函数的极限与连续性

三、多元连续函数的性质

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一、多元函数的概念

引例:

圆柱体的体积r

Vπr2h,(r,h)r0,h0h

定量理想气体的压强

RT

p(R为常数）,(V,T)V0,TT0

V

abc

三角形面积的海伦公式(p)b

2a



Sp(pa)(pb)(pc)c

(a,b,c)a0,b0,c0,abc

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定义1.设非空点集DRn,映射f:DR称为定义

在D上的n元函数,记作

uf(x1,x2,,xn)或uf(P),PD

点集D称为函数的定义域;数集uuf(P),PD

称为函数的值域.

特别地,当n=2时,有二元函数

zf(x,y),(x,y)DR2

当n=3时,有三元函数

uf(x,y,z),(x,y,z)DR3

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z

例如,二元函数z1x2y2

定义域为圆域(x,y)x2y21

O

1y

图形为中心在原点的上半球面.x

又如,zsin(xy),(x,y)R2z

说明:二元函数z=f(x,y),(x,y)DO

y

的图形一般为空间曲面.x

三元函数uarcsin(x2y2z2)

定义域为单位闭球

222

(x,y,z)xyz1O

图形为R4空间中的超曲面.

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等值线：另一种表示函数z=f(x,y)的方法是利用

所谓的等值线f(x,y)=C，其中C为常数。它表示

xOy面上的曲线族。

当点(x,y)在其中每一

条曲线f(x,y)C0

上变化时.函数

f(x,y)都取相同的值

C0

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容易看出，等值线

f(x,y)=C实际上就是曲

面z=f(x,y)与平面z=C

的交线在xOy平面上的

投影。因此,将等值线

f(x,y)=C族中各曲线升

到相应得高度z=C处就

不难想象出曲面

z=f(x,y)的图像

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例1.画出函数zx2y2的等值线，并由此等值线

讨论此曲面的形状。

解:显然等值线为x2y2C

容易看出，当C0时，等值线

是以原点为中心