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平面向量数量积的坐标表示

1.已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ，则a·b＝abcos.a·b称为向量a与b的数量积（或内积）.θ2.数量积a·b等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcos的乘积.θ

6.a·b≤ab.3.a⊥ba·b＝0.4.a·a＝a2＝a2.a·bab5.cos＝.θ

复习题1已知：a＝4，b＝5，a·b＝10，求：a与b的夹角θ.θ＝60°.解：设a与b的夹角为θ，则cos＝＝,a·bab12θ

复习题2已知：A(2，1)，B(3，2)，C(–1，4)，求证：?ABC是直角三角形.分析：先画图，ABCOxy从图中可知，∠A应为90°，为证明∠A＝90°，只需证明AB·AC＝0.

复习题2已知：A(2，1)，B(3，2)，C(–1，4)，求证：?ABC是直角三角形.ABCOxy由AB·AC＝ABACcosA可知，为了证明AB·AC=0,需先得出cosA=0，需先证明∠A为90°，而这正是最终要证明的结论.

5.7平面向量数量积的坐标表示

在坐标平面xoy内，已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.

a·b＝x1x2＋y1y2证明：设x轴、y轴方向的单位向量分别是i、j，则a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i·i＋x1y2i·j＋y1x2j·i＋y1y2j·j＝x1x2＋y1y2.

已知：A(2，1)，B(3，2)，C(–1，4)，求证：?ABC是直角三角形.∴AB⊥AC.证明：AB＝(3–2，2–1)＝(1，1),AC＝(–1–2，4–1)＝(–3，3),∵AB·AC＝1×(–3)＋1×3＝0,∴?ABC是直角三角形.

由向量数量积的坐标表示,可得(1)若A、B坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则|AB|＝√(x1－x2)2＋(y1－y2)2(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥bx1x2＋y1y2＝0(a∥b(b≠0)x1y2－x2y1＝0)A(x1，y1)OxyB(x2，y2)(|AB|2＝AB·AB=(x1－x2)2＋(y1－y2)2)

例1已知a＝(1，√3)，b＝(–2，2√3),（1）求a·b；（2）求a与b的夹角θ.解：（1）a·b＝1×(–2)＋√3×2√3＝4;b＝√(–2)2＋(2√3)2＝4,（2）a＝√12＋(√3)2＝2,cos＝＝＝,42×4a·bab12θ∴＝60o.θ

例2：已知a＝(5,0)，b＝(–3.2,2.4),求证：(a＋b)⊥b.证明：∵(a＋b)·b＝a·b＋b2＝5×(–3.2)＋0×2.4＋(–3.2)2＋2.42＝0，∴(a＋b)⊥b.

例3：已知：A、B、C三点坐标分别为(2，0)、(4，2)、(0，4)，直线l过A、B两点，求点C到l的距离.HOABCxyl分析一：如图，为求CH长，由CH＝AH－AC可知，关键在于求出AH.由AC·AB的几何意义，AC·AB等于AB的长度与AC在AB方向上的投影的乘积.所以AC·AB＝AH·AB.

AC＝(0–2，4–0)＝(–2，4)，AB＝(4–2，2–0)＝(2，2),AC·AB＝–2×2＋4×2＝4.解：HOABCxyl∵AH与AB共线，∴可设AH＝mAB＝(2m，2m).AH·AB＝4m＋4m＝8m.由AC·AB=AH·AB，得m＝.12CH=AH－AC＝(3，–3)，CH＝√32＋(–3)2＝3√2.即C点到直线