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《常微分方程》课程教学大纲

一、课程的适用专业、学时及学分

本课程的适用专业为：数学与应用数学专业，68学时，4学分。

二、课程的性质、目的和任务

微分方程是高等师范院校数学与应用数学专业的基础课程之一，通过该课程

的学习，使学生正确理解微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，具有

一定的解题能力，为学习本学科的近代内容和后继课程打下基础，同时使学生认

识到微分方程在解决实际问题的重要性，以及数学来源于实践，又服务于实践，

从而有助于树立辨证唯物主义观点。

实施本大纲请注意：

１.贯彻理论联系实际的原则，力求反映微分方程的实际背景及其应

用，各章安排适当的应用例题。

２.要抓住基本内容，重点放在系统地介绍线性方程(组)的基本理论与

主要方法上。

３.注意通过典型例题的介绍，使学生理解与掌握基本概念领会基本

理论的作用与意义。

４.注意基本技能的训练，安排一定数量的练习题，以及难度适宜的

证明题。

５.加强与有关课程的联系与配合，通过对数学分析、高等代数、普

通物理等课程中已学得的知识的应用，使学习得到巩固和深化。

６.适当注意内容现代化，如列入有关稳定性理论的基本概念和问题，

讲授微分方程组的理论时，要注意多用矩阵工具。

三、与其它课程的联系

本课程的先修课是数学分析、线性代数等课程。数学分析、线性代数为本课

程打下基础；后续课程，如数学模型、控制论、偏微分方程数等课程为其提供应

用和发展。故本课程应安排在第三学期讲授。

四、课程的基本内容、重点及难点

(一)绪论

内容：某些物理过程的数学模型。基本概念：(常微分方程和偏微分方程，

线性和非线性，通解和特解，解和隐式解，积分曲线和方向场。)

基本要求：要求掌握微分方程的一些物理背景和方程的建立问题，正确理解

微分方程的最基本的概念。

重点与难点：教学重点为基本概念；教学难点是积分曲线和方向场。

(二)一阶微分方程的初等解法

内容：分离方程与变量变换；线性方程与常数变易法；恰当方程与积分因子；

一阶隐方程与参数表示。

基本要求：掌握五种类型的方程的初等解法；理解和掌握变量分离方程和恰

当方程的联系，对其它类型的方程要求掌握借助变量变换或积分因子化为变量分

离方程或恰当方程。

重点与难点：教学重点为解一阶微分方程的几个直接方法；教学难点是恰

当方程与积分因子,一阶隐方程与参数表示。

(三)一阶微分方程的解的存在定理

内容：解的存在唯一性定理与逐步逼近法;解的延拓;解对初值的连续性和

可微性定理。

基本要求：熟练和掌握用逐次逼近法证明解的存在唯一性定理；熟练掌握

用逐次逼近法求方程的近似解和误差的估计；掌握解的一般性质。

重点与难点：教学重点为Picard逼近方法，解的延拓、连续性和可微性、

唯一性和奇性；教学难点是解的存在唯一性定理的证明。

(四)高阶方程(讲授12学时，习题2课学时)

内容：线性微分方程的一般理论;常系数线性方程的解法;高阶方程的降阶

和幂级数的解法。

基本要求：正确理解线性方程的基本理论；熟练掌握求常系数齐线性方程

的基本解组的特征根法，常系数非齐线性方程的特解的待定系数法，一般非线性

方程的常数变易法，求一般二阶齐线性方程特解的幂级数解法和高阶方程可降阶

的一些方程类型的解法。

重点与难点：教学重点为齐次和非齐次方程解之间的关系，解的结构和形

式，求解方法；教学难点是求常系数非齐线性方程的特解的待定系数法，求一

般非线性方程的常数变易法。

(五)线性微分方程组(讲授16学时，习题课2学时)

内容：存在唯一性定理;线性微分方程组的一般理论;常系数线性微分方程组;

利用首次积分求解常微分方程。

基本要求：理解线性方程组解的存在唯一性定理；熟悉和掌握逐步逼近法；

熟悉向量与矩阵的表述方法；正确理解线性方程组的一般理论熟练掌握常系数线

性方程组的基解矩阵的求法和应用常数变易公式求非齐次线性方程组的解法；掌

握高阶线性微分方程与线性微分方程组的关系；熟练掌握利用首次积分求解常微

分方程。

重点与难点：教学重点为基解矩阵，Picard逼近方法，求解公式，级数解；

教学难点是常系数线性