专题08勾股定理（2个知识点3种题型2种中考考法）（学生版）.docx

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专题08勾股定理（2个知识点3种题型2种中考考法）

【目录】

倍速学习四种方法

【方法一】脉络梳理法

知识点1.勾股定理（重点）

知识点2.勾股定理的验证（难点）

【方法二】实例探索法

题型1.利用勾股定理求线段的长度

题型2.与勾股定理有关的面积计算

题型3.利用勾股定理说明线段的平方关系

【方法三】仿真实战法

考法1.用勾股定理求线段的长

考法2.与勾股定理有关的面积计算

【方法四】成果评定法

【学习目标】

感受探索勾股定理的过程，发展合情推理能力，体会数形结合思想。

能应用勾股定理求直角三角形中未知边的长（只限于常用的数），能应用已有的数学知识验证勾股定理。

经历用多种拼图方法验证勾股定理的过程，发展有条理的思考于表达能力，从中感受勾股定理的文化价值。

【知识导图】

【倍速学习五种方法】

【方法一】脉络梳理法

知识点1.勾股定理（重点）

（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．

（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．

（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b

（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．

知识点2.勾股定理的验证（难点）

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

图（1）中，所以.

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

图（2）中，所以.

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

，所以.

【方法二】实例探索法

题型1.利用勾股定理求线段的长度

【例1】（2022秋?常州期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝n2﹣1，AB＝n2+1，则AC的长为（）

A．2n B．2n2 C．4n D．4n2

【变式1】（2022秋?南京期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC＝3，BC＝4，则CD的长为（）

A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5

【变式2】（2022秋?南京期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，则AE的长为．

题型2.与勾股定理有关的面积计算

【例2】（2021秋?常熟市校级月考）如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（）

A．50 B．16 C．25 D．41

【变式】（2022秋?工业园区校级月考）把图1中长和宽分别为6和3的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图2中小正方形ABCD的面积为．

题型3.利用勾股定理说明线段的平方关系

【例3】（2022秋?兴化市期中）如图，在四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形图案中，如果大正方形的面积为16，小正方形的面积为4，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么（a+b）2的值为（）

A．25 B．28 C．16 D．48

【变式1】（2022秋?扬州期中）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2），也可以表示为4×ab+（a﹣b）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．

（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．

（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝1.2千米，HB＝0.9千米，求新路CH比原路CA少多少千米？

（3）在第（2）问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝4，BC＝5，AB＝6，设AH＝x，求x的值．

【变式2】（2022秋?灌南县期中）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，请你利用这个图形解决下列问题：

（1）试说明a2+b2＝c2；

（2）如果大正方形的面积是12，小正方形的面积是4，求（a+b）2的值．

【变式3】（2022秋?吴江区月考）【方法探究】我们知道，通过不同的方法表示同一图形的面积