专题09勾股定理的逆定理（2个知识点3种题型2种中考考法）（学生版）.docx

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专题09勾股定理的逆定理（2个知识点3种题型2种中考考法）

【目录】

倍速学习四种方法

【方法一】脉络梳理法

知识点1.勾股定理的逆定理（重点）

知识点2.勾股数（重点）

【方法二】实例探索法

题型1.勾股定理的逆定理的应用

题型2.勾股定理及其逆定理的综合应用

题型3.勾股定理的逆定理在实际生活中的应用

【方法三】仿真实战法

考法.勾股定理的逆定理

考法2.勾股数

【方法四】成果评定法

【学习目标】

掌握勾股定理的逆定理，并能指出与勾股定理的区别。

能运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形，知道勾股数的含义。

经历探索一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理与演绎推理的能力。

【知识导图】

【倍速学习四种方法】

【方法一】脉络梳理法

知识点1.勾股定理的逆定理（重点）

（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．

说明：

①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．

②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．

（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．

注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．

【例1】如图，在四边形ABCD中，，，，，，求证：∠C=90°．

【变式】如图是由边长均为1的小正方形组成的网格，点A，B，C都在格点上，∠BAC是直角吗？请说明理由．

知识点2.勾股数（重点）

勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．

说明：

①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．

②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．

③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…

【例2】（2022秋?泰兴市期末）下列四组数中，是勾股数的是（）

A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52

C．3，4，5 D．

【变式1】（2022秋?盐都区期中）观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝．（提示：5＝，13＝，…）

【变式2】（2022秋?铜山区期中）若m、n为整数，且m＞n＞1，a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2．请你证明a、b、c为勾股数．

【变式3】．（2022秋?工业园区校级期中）如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数叫做勾股数组．我国清代数学家罗士琳对勾股数组进行了深入研究，提出了各种有关公式400多个．他提出：当m，n为正整数，且m＞n时，m2﹣n2，2mn，m2+n2为一组勾股数组，直到现在，人们都普遍采用他的这一公式．

（1）除勾股数3，4，5外，请再写出两组勾股数组，；

（2）若令x＝m2﹣n2，y＝2mn，z＝m2+n2，请你证明x，y，z为一组勾股数．

【变式4】（2022秋?灌南县期中）【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．

请你观察下列三组勾股数：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）…分析其中的规律，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．

当勾为3时，股4＝×（9﹣1），弦5＝×（9+1）；

当勾为5时，股12＝×（25﹣1），弦13＝×（25+1）；

当勾为7时，股24＝×（49﹣1），弦25＝×（49+1）．

（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝，弦＝，则据此规律第四组勾股数是．

（2）若a＝m2﹣1，b＝2m，c＝m2+1，其中m＞1且m是整数．求证：以a，b，c为边的△ABC是直角三角形．

【方法二】实例探索法

题型1.勾股定理的逆定理的应用

1．（2022秋?兴化市期末）一个三角形三边长为15、20、25，则三角形的面积为．

2.（2022春?汉阴县月考）如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC．