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导数的计算练习题及答案
1.计算函数f(x)=3x^2-4x+2的导数f(x)。
解答:
根据函数f(x)=3x^2-4x+2,使用导数的定义来计算导数f(x)。
f(x)=lim(deltax-0)(f(x+deltax)-f(x))/deltax
代入函数f(x)的表达式:
f(x)=lim(deltax-0)[(3(x+deltax)^2-4(x+deltax)+2)-
(3x^2-4x+2)]/deltax
化简并展开:
f(x)=lim(deltax-0)[3(x^2+2x*deltax+(deltax)^2)-4x-4
*deltax+2-3x^2+4x-2]/deltax
f(x)=lim(deltax-0)[3x^2+6x*deltax+3(deltax)^2-4x-4
*deltax+2-3x^2+4x-2]/deltax
f(x)=lim(deltax-0)[6x*deltax+3(deltax)^2-4*deltax]/
deltax
f(x)=lim(deltax-0)[6x+3*deltax-4]
由于求导数时deltax趋近于0,所以deltax也可以看作一个无
穷小量,其平方项可以忽略不计,即deltax^2=0。
化简结果:
f(x)=6x-4
所以函数f(x)=3x^2-4x+2的导数f(x)为6x-4。
2.计算函数g(x)=2sin(x)+3cos(x)的导数g(x)。
解答:
根据函数g(x)=2sin(x)+3cos(x),使用导数的定义来计算导数
g(x)。
g(x)=lim(deltax-0)(g(x+deltax)-g(x))/deltax
代入函数g(x)的表达式:
g(x)=lim(deltax-0)[(2sin(x+deltax)+3cos(x+deltax))-
(2sin(x)+3cos(x))]/deltax
化简并展开:
g(x)=lim(deltax-0)[2sin(x)cos(deltax)+2sin(deltax)cos(x)+
3cos(x)cos(deltax)-3sin(x)sin(deltax)-2sin(x)-3cos(x)]/deltax
利用三角恒等式sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)和cos(a+
b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b),化简结果:
g(x)=lim(deltax-0)[2sin(x)cos(deltax)+2sin(deltax)cos(x)+
3cos(x)cos(deltax)-3sin(x)sin(deltax)-2sin(x)-3cos(x)]/deltax
g(x)=lim(deltax-0)[2(sin(x)cos(deltax)+cos(x)sin(deltax))+
3(cos(x)cos(deltax)-sin(x)sin(deltax))-2sin(x)-3cos(x)]/deltax
g(x)=lim(deltax-0)[2sin(x+deltax)+3cos(x+deltax)-
2sin(x)-3cos(x)]/deltax
根据三角函数的性质,当deltax趋近于0时,sin(x+deltax)和
cos(x+deltax)可以分别用sin(x)和cos(x)来近似,即sin(x+deltax)
≈sin(x),cos(x+deltax)≈cos(x)
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