5.5 三角恒等变换（精讲）（解析版）--人教版高中数学精讲精练必修一.pdfVIP

5.5三角恒等变换（精讲）

一．两角和与差的余弦、正弦、正切公式

1.cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβcos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ“同名相乘，符号反”

2.sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβsin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ“异名相乘，符号同”

tanα－tanβtanα＋tanβ

3.tan(α－β)＝tan(α＋β)＝“上同号，下1异号相乘”

1＋tanαtanβ1－tanαtanβ

二．二倍角公式

1

（1）sin2α＝2sinαcosα↔sin2α＝sinαcosα

2

2222

（2）cos2α＝cosα－sinα＝2cosα－1＝1－2sinα

221221

2cos1＋cos2cos＝（1＋cos2）2sin1－cos2sin＝（1－cos2）

22

2tanα

（3）tan2α＝

2

1－tanα

三.辅助角公式

bb

22

asinx＋bcosx＝a＋bsin(x＋φ).其中tanφ＝，φ所在象限由a和b的符号确定，或者sinφ＝，cos

22

aa＋b

a

φ＝.

22

a＋b

一．给值求值

(1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角

之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：

①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差；

②当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.

(2)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围.

二．给值求角

在选三角函数时，可按以下原则：一般地，已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数

π

0，

若角的范围为2，选正弦函数和余弦函数都可；

ππ

－，

若角的范围是22，选正弦函数比余弦函数好；

若角的范围是(0，π)，选余弦函数比正弦函数好.

三．探究三角函数式化简、证明

(1)化简的要求

①能求出值的应求出值

②尽量使三角函数种数最少

③尽量使项数最少

④尽量使分母不含三角函数

⑤尽量使被开方数不含三角函数.

（2）化简的