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平凡见奇生面开，似曾相识燕归来

作者：林生

来源：《广东教育（高中）》2021年第08期

今年高考是新高考的第一年，試题风格朴实无华，背景简洁明了，没有冗繁的文字描述，

摒弃了浮夸的命题风格，试题很好地落实了“立德树人、服务选才，引导教学”的核心功能.今年

的很多题目都独具匠心，既体现在知识交汇点处命题的创新原则，又格调清新意境幽，更为重

要的是有些题目看起来似曾相识，但有别于“旧题”，很好实现了“反题海战术和机械刷题”等功

能，更好地培养考生的数学核心素养.2021年新高考Ⅰ卷数学第21题就是这样的题目：该试题

设计虽平凡、朴实，“面孔”是考生最熟悉的题型，考生入手容易且解法看似常规，但是却有些

“生面”——解几大题双曲线重出江湖，这次考查的是双曲线，双曲线大题已经将近十年高考没

有出现，这虽和八省联考模拟卷考查双曲线高度吻合，但当时八省联考模拟卷中以双曲线大题

出现是“出乎意料”的，曾几何时，很多人备考时都振振有词强调双曲线不考大题，平时我们所

用的教辅资料也成功回避了双曲线大题，没有想到八省联考模拟卷就杀了个“回马枪”，令考生

黯然神伤.虽前车之鉴后再次出现双曲线大题考生有了充分准备，但这也是我们学生的一个“软

肋”，这也再次提醒了我们：以后高考备考要以高考评价体系为标准，要掌握的知识必须掌

握，不能再像以前备考那样“规避”双曲线，不能像以前备考都注重椭圆和抛物线，而忽略双曲

线相关知识.同时我们对高考试题研究要深度分析：入乎其内——寻求解题的思路和突破口，

找出最优解题思路和方法，接着找出其共性的知识和通性通法，对其通法深度挖掘和提炼反思;

还要出乎其外——寻求其知识的“源”与“流，对此基本类型进行变式拓展推广、举一反三，开

启思维，纵横联系、触类旁通，探窥其本质，让考生从题中悟“道”，达到“一览众山小”的境

界，从而实现2022年高考解析几何的高效备考.下面笔者以2021年新高考Ⅰ卷数学第21题为

载体，通过探求其解法、分析这种类型的实质，打开这类问题的“思维重门”，对此种圆锥曲线

的类型进行推广拓展，让考生掌握这一类题型的基本方法和技巧，实现高效备考，探究出

2022年高考圆锥曲线的高效备考的一些建议和策略.

一、平凡见奇生面开似曾相识燕归来——真题回放

（2021年新高考全国数学Ⅰ卷第21题）在平面直角坐标系xOy中，已知点F1（-，0），

F2（，0），点M满足MF1-MF2=2.记M的轨迹为C.

（1）求C的方程;

（2）设点T在直线x=上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且

TA·TB=TP·TQ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

【点评】本题朴实无华但棉里藏针，陷阱凸显，简约而不简单，深刻而不深奥.第（1）问

考查双曲线的定义——点的轨迹，考查内容常规、平凡，考题这样设置有利于考生思维的展

开，给考生一课“定心丸”，同时也有利于第（2）问的思路展开，有利考生信心的提升，但在

这里设置了一个“门槛”——考查双曲线的“一支”，同时还凸显“陷阱”——要注意轨迹方程中的

取值范围;第（2）问求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和，本质属于双曲线的定值问题，

但却将本问设置成有序开放问题探索的内容——求斜率之和.以“生面”的形式展示，加上该问综

合性运算量大，很多考生都会“望而生畏”，但只要认真思考该类问题，还是可以转化为我们熟

悉的“面孔”——定值问题，加上本问不同的思维路径会出现不同的运算量，这更能甄别考查考

生的运算求解能力，同时还要求运用解析几何的基本思想方法分析问题和解决问题，考查考生

在开放的情景中发现主要矛盾的能力，让考生在平平实实中考思维、稳扎稳打中见真功，这十

分符合新高考的命题理念.

二、犹抱琵琶半遮面拨迷雾入乎其内——解法探幽

众里1.寻它千百度，柳暗花明又一村——点开第一重认识：求点轨迹方程

【分析】该题中的第（1）问时，虽双曲线对考生有点“陌生”，但考查点的轨迹方程，这

对考生来说是“老生常谈”的问题，回归双曲线定义，明确点M满足MF1-MF2=2，注意到范

围，利用双曲线的定义可知轨迹C是以点F1、F2为左、右焦点双曲线的右支，求出a、b的

值，即可得出轨迹C的方程，这样问题便可解决.

解析：因为MF1-MF2=20，b0，），则2a=2，可得a=1，b==4，所以轨迹C的方程