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平行四边形典型例题

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1．已知如图12-1-19，所示ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE上AD于E，OF⊥

BC于F．

求证：四边形AECF是平行四边形

错证：在△AOE和△COF中

∵OE⊥AD，OF⊥BC∴∠AEO=∠CFO=90°

∵四边形ABCD为平行四边形

∴OA＝OC，AD∥BC∴∠EAC＝∠ACF

∴△AOE≌△COF（AAS）∴OF=OE

∴四边形AECF是平行四边形

错误分析：上面证明由OF＝OE，OA=OC不能说明EF与AC互相平分，因为原题设中没有说明E、O、F

三点共线，因此先证E、O、F三点共线．

正确证明：在△AOE和△COF中

∵OE⊥ADOF⊥BC∴∠AEO＝∠CFO＝90°

∵四边形ABCD为平行四边形

∴OA＝OC，AD∥BC∴∠EAC=∠ACF

∴△AOE≌△COF（AAS）∴OF＝OE

又∵AD∥BC，OE⊥AD，OF⊥BC

∴E、O、F三点共线

∴四边形AECF是平行四边形

2．如图12-1-22所示，现有一块等腰直角三角形的铁板，通过切割焊接成一个含有45°角的平行四边形，

请你设计一种最简单的方案，并证明你的方案确实得到的是一个符合条件的平行四边形．

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分析：运用三角形全等，平行四边形的识别方法来解答，在证明时不要忽略证明F，E，D共线．

解：取AC、BC的中点E、D连结ED，则沿ED切割下来，如图使点E不变，点C与点A重合，再焊接

上去最简单．

证明：在Rt△ABC中∵AC＝BC∴∠B=45°

又∵E、D分别为AC、BC的中点

∴EC＝DC∴∠CED＝∠CDE＝45°

∴∠AEF＝∠CED＝45°∴∠AEF+∠AED=∠CED+∠AED＝180°

∴F、E、D在一条直线上∵∠EAF＝∠C＝90°∴AF∥CD

又∵AF＝CD＝DB∴四边形AFDB是平行四边形，且∠B＝45°

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3．如图12-1-23，在ABCD的对角线上取两点E、F，且BF＝DE，请至少用两种不同的方法证明四边形

AECF是平行四边形，并指出哪种方法最简便．

分析：可证两组对边分别相等，也可证对角线互相平分．

证明方法（一）

在△ABF和△CDE中，AB＝CD，BF＝DE，∠ABF＝∠CDE．

∴△ABF≌△CDE∴AF＝CE

同理可证AE＝CF，故四边形AECF是平行四边形

方法（二）

连AC交BD于O

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在ABCD中，OA＝OC，OB＝OD

∵BF＝DE∴OE=OF∴四边形AECF为平行四边形

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4．如果一块木板两边是线段，把两把曲尺的一边紧靠木板边缘，再看木板另一边缘对曲尺另一边上的刻

度是否相等，就可以判断木板的两个边缘是否平行，这是为什么？

分析：这是一道生活实践题，运用数学知识来解决和分析一些生活实践问题，此题就是运用平行四边形的

识别方法来判断两边是否平行．

解：如果曲尺的刻度相等，则木板的两个边缘就平行，因为，两把曲尺与木板的两个边缘构成一个四边形，

当曲尺的刻度相等，则四边形中就有一组对边平行且相等，所以四边形为平行四边形，则木板的两边缘平

行．

如果曲尺的刻度不相等，则木板的两个边缘就不平行，因为曲尺与木板边缘构成的四边形不是平行四边形．

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5．已知如图12-1-4所示，ABCD中，AB的延长线上取一点E，使BE＝AB，在CE上取一点M使CM

＝CD，连结DM并延长交AE的延长线于点F

求证：BD＝BF

分析：由于BD，BF是△BDF的两边，所以要证BD＝BF，可由证△BDF中∠BDF＝∠F入手，易知∠F

＝∠CDM=∠CMD＝∠EMF，故只要证BD∥CE，由此由证法一又注意到BF＝BE+EF，易知BE＝AB＝

CD＝CM，EF＝EM，故BF＝CE，从而只要证BD＝CE，由此有证法二．

证法（一）：∵四边形ABCD为平行四边形∴