精品解析：湖南省长沙市周南中学2024-2025学年高二上学期入学自主检测数学试题（解析）.docx

长沙市周南中学2024年秋季数学学科高二入学自主检测试题卷

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.下面四个条件中，使成立的必要而不充分的条件是（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据不等式的性质或举例子逐一判断即可.

【详解】对A.当时，此时不能推出，不满足必要性；

对B.由，可得；反之不成立，满足必要不充分；

对C.当时，此时不能推出，不满足必要性；

对D.由，可得，反之也可推出，是充要条件.

故选：B

2.若某银行储蓄卡的密码由6位数字组成．某人在银行自助取款机上输入密码时，忘记了密码的最后1位数字，如果某人记得密码的最后1位是偶数，那么这个人不超过2次就输对密码的概率为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据古典概型计算公式，结合概率加法和乘法的运算公式进行求解即可.

【详解】设事件：一次就按对，事件：二次按对，

所以不超过2次就按对的概率为，

故选：C

3.已知水平放置的ΔABC的直观图（斜二测画法）是边长为的正三角形，则原ΔABC的面积为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】将ΔABC的直观图作出来，计算出ΔABC底边的长和该边上的高，利用三角形的面积公式可求出ΔABC的面积.

【详解】正三角形还原回原三角形如下图，

过作垂直于轴于，因为是边长为的正三角形，

所以，过作平行于轴交轴于，则，

所以，对应的原图形中的点在平面直角坐标系下的纵坐标为，

即原三角形底边上的高为，

所以，原三角形面积，故选D.

【点睛】平面图形与其直观图的关系

（1）在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．“平行于轴的线段平行性不变，长度不变；平行于轴的线段平行性不变，长度减半．”

（2）按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：．

4.已知向量，为单位向量，，若，求与所成角的余弦值为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】由向量的数量积的运算公式和向量的夹角公式，准确运算，即可求解.

【详解】由向量的夹角公式，可得.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.

5.纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动.因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向.研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert常数约为（）（参考数据：，）

A.1.15 B.2.88 C.3.87 D.5.5

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意可得，再结合对数式与指数式的互化及对数的运算性质即可求解．

【详解】由题意知，

所以，两边取以10为底的对数，得，

所以，

故选：A.

6.降水量是指水平地面上单位面积降雨水的深度，用上口直径为，底面直径为，深度为的圆台形水桶（轴截面如图所示）来测量降水量，若在一次降雨过程中，此桶盛得的雨水正好是桶深的，则本次降雨的降水量为（精确到）（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据梯形性质得到水面直径和水深，利用圆台公式得到降水体积，再由降水量是降水体积与上口面积之比得到降水量.

【详解】水深，水面直径，

根据圆台体积公式得降水体积，

则降水量为.

故选：D.

7.在R上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则（）．

A.在区间上是增函数﹐在区间上是增函数

B.在区间上是增函数，在区间上是减函数

C.在区间上是减函数，在区间上是增函数

D.在区间上是减函数，在区间上是减函数

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数关于轴和轴对称，利用已知区间的单调性求解.

【详解】因为，所以函数关于成轴对称，

所以区间与区间，区间与关于对称，

由函数在区间上是减函数，可知函数在上是增函数，

又函数是偶函数，所以函数在上是增函数，

所以函数在上减函数，

故选：B

8.如图，在棱长为1的正方体中，已知，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】设的中点为，即可证明，从而得