专题2.2 等腰三角形中的几何综合（压轴题专项讲练）（浙教版）（原卷版）.pdf

专题2.2等腰三角形中的几何综合

【典例1】【概念学习】

规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角

形”．

规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个

三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似

三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等腰分割线”．

（1）【概念理解】

△∠=36°=∠△△

如图1，在中，，，平分，则与（填“是”或“不是”）

互为“形似三角形”．

（2）如图2，在△中，平分∠，∠=36°，∠=48°．求证：为△的等腰分割线；

（3）【概念应用】

在△中，∠=45°，是△的等腰分割线，直接写出∠的度数．

【思路点拨】

（1）由题意推出∠=36°，∠=72°，∠=72°，从而得出结论；

（2）根据题意，通过计算得出△是等腰三角形，∠=∠=36°，∠=∠=48°，

∠=∠=96°，从而得出结论；

（3）根据题意，分为当△是等腰三角形△是等腰三角形两类，当△是等腰三角形时，再

===△

分为：，，三种情形讨论；同样当是等腰三角形时，也分为三种情形讨论，

分别计算出∠的度数即可．

【解题过程】

∵∠=36°=

（1）解：，，

∴∠=∠=72°，

∵平分∠，

1

∴∠=∠=36°，

2

∵∠=72°，

∴∠=72°，

∴△和△互为“形似三角形”，

故答案为：是；

（2）证明：．∵∠=36°，∠=48°，

∴∠=180°−36°−48°=96°，

∵平分∠，

11

∴∠=∠=∠=×96°=48°，

22

∴∠=48°=∠，

∵∠是△的一个外角，

∴∠=∠+∠=96°=∠，

∴△是等腰三角形，∠=∠=36°，∠=∠=48°，∠=∠=96°，

∴为△的等腰分割线；

（3）解：（Ⅰ）当△是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时，

①如图1所示：

当=时，则∠=∠=45°，

∴∠=∠+∠=90°，

此时，△、△是“形似三角形”，可知∠=∠=45°，

∴∠=∠+∠=90°；

②如图2所示：

180°−45°

当=时，则∠=∠==67.5°，

2

此时，△、△是“形似三角形”，可知∠=∠=45°，

∴∠=45°+67.5°=112.5°；

③当=时，这种情况不存在；

（Ⅱ）当△是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时，

①如图3所示：

当=时，∠=∠，

此时，△、△