第六章-微分学基本定理及其应用.ppt

第六章微分学基本定理及其应用

6.1中值定理

一、罗尔定理

二、拉格朗日中值定理

三、柯西中值定理

一、罗尔(Rolle)定理

费马引理设函数f(x)在点x0的某领域u(x0)内有定义，并且

在处可导，如果对任意的，有

x0xu(x0)

或

f(x)f(x0)(f(x)f(x0))

那么

f(x0)0

证不妨设时，（如果

xu(x0)f(x)f(x0)f(x)f(x0)

可类似的证明）.于是，对于，有

x0xu(x0)

f(x0x)f(x0)

从而当x0时，

f(xx)f(x)

000;

x

当x0时

f(xx)f(x)

000;

x

根据函数f(x)在x0可导的条件极限的保号性，便得到

fxxfx

(0)(0)

f(x0)f(x0)lim0

x0x

fxxfx

(0)(0)

f(x0)f(x0)lim0

x0x

所以

f(x0)0

例如,f(x)x22x3(x3)(x1).

在[1,3]上连续,在(1,3)上可导,且f(1)f(3)0,

f(x)2(x1),

取1,(1(1,3))f()0.

几何解释:

y

在曲线弧AB上至少有一C

yf(x)

点C,在该点处的切线是

水平的.

oa12bx

证f(x)在[a,b]连续,必有最大值M和最小值m.

(1)若Mm.则f(x)M.

由此得f(x)0.(a,b),都有f()0.

(2)若Mm.

f(a)f(b),

最值不可能同时在端点取得.

设Mf(a),

则在(a,b)内至少存在一点使f()M.

f(x)f(),

f(x)f()0,

f(x)f()

若x0,则有0;

x

f(x)f()

若x0,则有0;

x

f(x)f()

f()lim0;

x0x

f(x)f()

f()lim0;f()存在,

x0x

f()f().只有f()0.

关于罗尔定理的几点说