人教版高中数学精讲精练必修一1.2 集合间的关系（精讲）（解析版）.pdfVIP

1.2集合间的关系（精讲）

一．子集、真子集、集合相等

1．子集、真子集、集合相等的相关概念

定义符号表示图形表示

如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就

子集A⊆B(或B⊇A)

称集合A为集合B的子集

如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合

AB(或BA)

真子集ÜÝ

A是集合B的真子集

如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集

集合

合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合AA＝B

相等

与集合B相等

空集



真子集



子集含有部分元素





集合相等（集合本身）



2．Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．

3．子集的性质

(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.

(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.

4.子集的个数

假设集合A中含有n个元素，则有：

n

(1)A的子集有2个；

n

(2)A的非空子集有(2－1)个；

n

(3)A的真子集有(2－1)个；

n

(4)A的非空真子集有(2－2)个.

二．空集

1.定义：不含任何元素的集合叫做空集

2.记作：∅

3.规定:空集是任何集合的子集，即∅⊆A

4.特性

(1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅；

(2)若A≠∅，则∅ÜA

5.区分：0，{0}，∅与{∅}之间的关系

∅与0∅与{0}∅与{∅}

相同点都表示无的意思都是集合都是集合

∅不含任何元素；{0}含一∅不含任何元素；{∅}含一个

不同点∅是集合；0是实数

个元素0元素，该元素是∅

关系0∉∅∅Ü{0}∅Ü{∅}或∅∈{∅}

一．判断集合关系的方法

1.观察法：一一列举观察.

2.元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.

3.数形结合法：利用数轴或Venn图.

二.求给定集合的子集的两个注意点：

1.按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写；

2.在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身.

三．由集合间的关系求参数

1.若已知集合是有限集，求解时，一般根据对应关系直接列方程．

2.若已知集合是无限集，求解时，通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定

数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心圆点表示，不含“＝”用空心圆圈表示．

3.注意点：①不能忽视集合为∅的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论.

AB集合A是集合B的子集

类型一：集合B中有参数B

画数轴根据端点的大小列不等式（组）

类型二：集合A中有参数

分式中分母为0