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结构力学基础概念：位移法：弹性力学基础

1弹性力学基础

1.11应力与应变的概念

1.1.1应力

应力（Stress）是描述材料内部受力状态的物理量，定义为单位面积上的内

力。在弹性力学中，应力分为正应力（NormalStress）和切应力（ShearStress）。

正应力是垂直于材料截面的应力，用符号表示；切应力是平行于材料截面的应

力，用符号表示。

1.1.2应变

应变（Strain）是描述材料变形程度的物理量，分为线应变（LinearStrain）

和切应变（ShearStrain）。线应变是材料在某一方向上的长度变化与原长度的比

值，用符号示；切应变是材料在某一平面内角度变化的量度，用符号表示。

1.22胡克定律与材料属性

1.2.1胡克定律

胡克定律（Hooke’sLaw）是描述弹性材料在小变形条件下应力与应变之

间线性关系的基本定律。对于一维情况，胡克定律可以表示为：

=

其中，是材料的弹性模量（Young’sModulus），它反映了材料抵抗弹性

变形的能力。

1.2.2材料属性

材料的弹性模量、泊松比和剪切模量是弹性力学中重要的材料属性。

这些属性决定了材料在受力时的变形行为。例如，弹性模量越大，材料抵抗

拉伸或压缩变形的能力越强。

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1.33弹性体的平衡方程

1.3.1平衡方程

在弹性力学中，平衡方程描述了弹性体在静力平衡状态下的应力分布。对

于三维情况，平衡方程可以表示为：

∂∂∂

+++=0

∂∂∂

∂∂∂

+++=0

∂∂∂

∂∂∂

+++=0

∂∂∂

其中，、和是作用在弹性体上的体积力（BodyForce）在和

向上的分量。

1.44位移边界条件与应力边界条件

1.4.1位移边界条件

位移边界条件（DisplacementBoundaryConditions）是指在结构的边界上规

定位移的大小和方向。例如，在固定端，位移通常被设定为零。

1.4.2应力边界条件

应力边界条件（StressBoundaryConditions）是指在结构的边界上规定应力

的大小和方向。例如，在受力端，应力通常被设定为某一特定值。

1.4.3示例：使用Python求解弹性力学问题

假设我们有一个简单的弹性梁，长度为=1m，高度为ℎ=0.1m，宽度为

=0.05m，材料的弹性模量=200泊松比=0.3。梁的一端固定，另一

端受到垂直向下的力=