大招6数列函数属性.docx

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大招6数列函数属性

1．等比数列的函数特殊属性

定理一：，则是等比数列

证明：是等比数列，其前项的和为，

则，．

根据可以确定等比数列的通项公式．

若，则是从第二项为首项的等比数列．

定理二：，当仅当时，是等比数列；当仅当时，是从第二项为首项的等比数列．

2．对于“求一个数列的最大、最小项或项的取值范围”的相关问题，我们常采用以下步骤处理：

第一步：将数列看成定义域为的特殊函数．

第二步：利用作差法或作商法得出数列的单调性．

第三步：根据其单调性求出最大、最小项或项的取值范围．

【典例1】数列的前项和，则“”是“数列为等比数列”的（）

A．充分不必要条件????B．必要不充分条件

C．充要条件????D．既不充分也不必要条件

【大招指引】由可得：，结合等比数列定义即可得到结果．

【解析】∵，

当n≥2时，，

∴，

∴当n≥2时，数列为等比数列，

要使数列为等比数列，则

即，∴；

反之，显然，

∴数列为等比数列，

∴“”是“数列为等比数列”的充要条件

故选：C．

【题后反思】利用求通项时，要注意是一个分段函数式，在求解时不要忽视时的情形，一定要注意验证．．

【温馨提醒】数列是一种特殊函数，其特殊性在于其定义域是正整数集或其子集，如本题中即为分段函数的形式．

【举一反三】

1．记数列的前n项和为，，则（????）

A． B． C． D．

【典例2】已知数列中，，，数列满足，则数列的最大项为第______项．

【大招指引】先利用累加法求出，再代入求出，进而利用作商法判断数列的单调性（借助函数的单调性）进行求解．

【解析】由，得到，

于是，而，

因此．

由，

运用作商法得到，

而关于x的不等式的解集为，

于是就有当时，，数列是递增数列，

当时，，数列是递减数列．

因此数列的最大项为第11项．

【题后反思】求数列的最大项或最小项时，类比函数的单调性的判定方法（作差法、作商法、导数法）判定数列的单调性是关键．

【温馨提醒】在利用函数的单调性方法判定数列的单调性时，一定要注意数列定义域的特殊性（不连续、间断性），否则容易出现错误．

【举一反三】

2．已知数列满足则集合中元素的个数为（????）

A．14 B．20 C．24 D．25

3．已知等比数列的前项和为，且，则（????）

A． B． C． D．

4．设数列的前n项和为，若，则（????）

A． B． C． D．

5．已知数列的首项，且，，则满足条件的最大整数（????）

A．2022 B．2023 C．2024 D．2025

6．已知是等比数列的前n项和，，，若关于n的不等式对任意的恒成立，则实数t的最大值为（????）

A．12 B．16 C．24 D．36

7．若数列，对于，都有（为常数）成立，则称数列具有性质．已知数列的通项公式为，且具有性质，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

8．设数列的前项和为，，且，若恒成立，则的最大值是（???）

A． B． C． D．8

9．若数列的前项和为，，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”且，设数列的前项和为，若对恒成立，则实数的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

10．记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为“牛顿数列”．若函数，数列为牛顿数列，设已知，，则，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，则的最大值为．

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参考答案：

1．A

【分析】根据与的关系式证明数列为等比数列，从而求.

【详解】依题意，

当n=1时，a1=2a1-1，解得a1=1；

当时，由得，

两式相减，得，即，所以，

所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，

所以，.

故选：A.

2．C

【分析】利用累加法得到，即可得到，然后分为偶数和奇数两种情况列不等式求解即可.

【详解】由题意得，

所以

，，

所以，

当为偶数时，令，解得，

当为奇数时，令，因为函数的对称轴为，当时，，当时，，所以，

综上可得集合中元素的个数为.

故选：C.

3．C

【分析】利用与的关系求出数列的通项公式，利用等比数列的定义可得出关于的等式，解之即可.

【详解】当时，，

当时，，

故当时，，

因为数列为等比数列，易知该数列的公比为，则，即，

解得.

故选：C.

4．C

【分析】根据通项与的关系可得递推公式，再构造等比数列求的通项公式，进而代入求得得到即可

【详解】当时，