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导数高考题

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1．已知函数fx=x+ax+,gx=﹣lnx

i当a为何值时,x轴为曲线y=fx的切线；

ii用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数hx=min{fx,gx}x＞0,讨论hx零点的个数．

2

解：if′x=3x+a,设曲线y=fx与x轴相切于点Px,0,则fx=0,f′x=0,

000

∴,解得,a=．因此当a=﹣时,x轴为曲线y=fx的切线；

ii当x∈1,+∞时,gx=﹣lnx＜0,∴函数hx=min{fx,gx}≤gx＜0,

故hx在x∈1,+∞时无零点．当x=1时,若a≥﹣,则f1=a+≥0,

∴hx=min{f1,g1}=g1=0,故x=1是函数hx的一个零点；

若a＜﹣,则f1=a+＜0,∴hx=min{f1,g1}=f1＜0,故x=1不是函数hx的零点；

当x∈0,1时,gx=﹣lnx＞0,因此只考虑fx在0,1内的零点个数即可．

2

①当a≤﹣3或a≥0时,f′x=3x+a在0,1内无零点,因此fx在区间0,1内单调,

而f0=,f1=a+,∴当a≤﹣3时,函数fx在区间0,1内有一个零点,

当a≥0时,函数fx在区间0,1内没有零点．

②当﹣3＜a＜0时,函数fx在内单调递减,在内单调递增,故当x=时,fx取得最

小值=．

若＞0,即,则fx在0,1内无零点．

若=0,即a=﹣,则fx在0,1内有唯一零点．

若＜0,即,由f0=,f1=a+,

∴当时,fx在0,1内有两个零点．当﹣3＜a时,fx在0,1内有一个零点．

综上可得：当或a＜时,hx有一个零点；

当a=或时,hx有两个零点；

当时,函数hx有三个零点．

mx2

2．设函数fx=e+x﹣mx．

1证明：fx在﹣∞,0单调递减,在0,+∞单调递增；

2若对于任意x,x∈﹣1,1,都有|fx﹣fx|≤e﹣1,求m的取值范围．

1212

mx

解：1证明：f′x=me﹣1+2x．

若m≥0,则当x∈﹣∞,0时,emx﹣1≤0,f′x＜0；当x∈0,+∞时,emx﹣1≥0,f′x＞0．

若m＜0,则当x∈﹣∞,0时,emx﹣1＞0,f′x＜0；当x∈0,+∞时,emx﹣1＜0,f′x＞0．

所以,fx在﹣∞,0时单调递减,在0,+∞单调递增．

2由1知,对任意的m,fx在﹣1,0单调递减,在0,1单调递增,故fx在x=0处取得最小值．

所以对于任意x,x∈﹣1,1,|fx﹣fx|≤e﹣1的充要条件是