结构力学数值方法：谐波平衡法在结构动力学非线性问题中的应用.pdf

结构力学数值方法：谐波平衡法在结构动力学非线性问题

中的应用

1绪论

1.1非线性动力学问题的重要性

在结构力学领域，非线性动力学问题的研究至关重要。这些非线性问题通

常出现在结构的材料属性、几何形状或边界条件随时间或载荷变化时。例如，

当结构承受大变形、大位移或在极端载荷条件下，线性假设不再适用，非线性

效应开始显现。非线性动力学问题的准确分析对于预测结构的动态响应、评估

其稳定性以及设计更安全、更高效的结构至关重要。

1.2谐波平衡法的历史与现状

谐波平衡法（HarmonicBalanceMethod,HBM）是一种用于求解非线性振动

问题的数值方法。它最早由Rosenberg在1960年代提出，作为解决非线性系统

周期性响应的一种手段。HBM的基本思想是将系统的响应表示为一系列谐波函

数的线性组合，然后通过求解一组非线性代数方程来确定这些谐波函数的系数。

随着时间的推移，HBM得到了广泛的发展和应用。现代HBM不仅能够处

理周期性问题，还能应用于准周期性、随机性和混沌系统的分析。此外，HBM

与其它数值方法如有限元法、边界元法等结合，形成了更强大的分析工具，能

够解决更复杂、更实际的工程问题。

1.2.1示例：使用HBM分析单自由度非线性振动系统

假设我们有一个单自由度非线性振动系统，其运动方程可以表示为：

+++=cos

0

其中，是质量，是阻尼系数，是线性刚度，是非线性力项，是

0

外力幅值，外力频率，是时间。

我们将系统的响应表示为一系列谐波函数的线性组合：

=cos+

0

其中，和分别是第谐波的幅值和相位。

接下来，我们将运动方程中的用上述谐波函数的线性组合代替，然后

通过应用傅里叶级数的性质，将原微分方程转换为一组非线性代数方程。这些

方程可以通过数值方法求解，以确定谐波函数的系数。

1

Python代码示例

下面是一个使用Python和SciPy库来求解上述单自由度非线性振动系统

HBM的简化示例。请注意，实际应用中，非线性力项的具体形式以及求解

非线性代数方程的细节会更加复杂。

importnumpyasnp

fromscipy.optimizeimportfsolve

#定义系统参数

m=1.0

c=0.1

k=1.0

F0=1.0

omega=1.0

#定义非线性力项

deff(x):

returnx**3

#定义HBM方程

defHBM_equations(p):

X0,X1,phi1=p

eq1=m*X1**2*np.sin(2*phi1)+c*X1*np.sin(phi1)+k*X0+F0-3*X0**2*X1*np.cos(phi1)

eq2=m*X1*omega**2+c*omega*X1*np.cos(phi1)+k*X1*np.cos(phi1)+3*X0**2*X1*np.sin

(phi1)-F0*omega*np.sin(omega*0+phi1)

eq3=m*X1*om