专题03 2024年三角函数（解析版）.docx

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专题03三角函数

1．（2024新课标全国Ⅰ卷）已知，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值.

【详解】因为，所以，

而，所以，

故即，

从而，故，

故选：A.

2．（2024新课标全国Ⅰ卷）当时，曲线与的交点个数为（????）

A．3 B．4 C．6 D．8

【答案】C

【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解

【详解】因为函数的的最小正周期为，

函数的最小正周期为，

所以在上函数有三个周期的图象，

在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：

由图可知，两函数图象有6个交点.

故选：C

3．（2024新课标全国Ⅱ卷）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（????）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可.

【详解】解法一：令，即，可得，

令，

原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，

注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，

可得，即，解得，

若，令，可得

因为，则，当且仅当时，等号成立，

可得，当且仅当时，等号成立，

则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，

所以符合题意；

综上所述：.

解法二：令，

原题意等价于有且仅有一个零点，

因为，

则为偶函数，

根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，

即，解得，

若，则，

又因为当且仅当时，等号成立，

可得，当且仅当时，等号成立，

即有且仅有一个零点0，所以符合题意；

故选：D.

4．（2024全国甲卷数学（理）（文））已知，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解.

【详解】因为，

所以，，

所以，

故选：B.

5．（2024新高考北京卷）已知，，，，则（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.

【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点，

则，即，

且，所以.

故选：B.

6．（2024新高考天津卷）已知函数的最小正周期为．则函数在的最小值是（???）

A． B． C．0 D．

【答案】A

【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出，得，再整体求出时，的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.

【详解】，由得，

即，当时，，

画出图象，如下图，

由图可知，在上递减，

所以，当时，

故选：A

7．（2024新高考上海卷）下列函数的最小正周期是的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可.

【详解】对A，，周期，故A正确；

对B，，周期，故B错误；

对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；

对于选项D，，周期，故D错误，

故选：A．

8．（2024新课标全国Ⅱ卷）对于函数和，下列说法正确的有（????）

A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值

C．与有相同的最小正周期 D．与的图像有相同的对称轴

【答案】BC

【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.

【详解】A选项，令，解得，即为零点，

令，解得，即为零点，

显然零点不同，A选项错误；

B选项，显然，B选项正确；

C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确；

D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足，

的对称轴满足，

显然图像的对称轴不同，D选项错误.

故选：BC

9．（2024新课标全国Ⅱ卷）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则.

【答案】

【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.

【详解】法一：由题意得，

因为，，

则，，

又因为，

则，，则，

则，联立，解得.

法二：因为为第一象限角，为第三象限角，则,

，，

则

故答案为：.

10．（2024全国甲卷数学（文））函数在上的最大值是．

【答案】2

【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.

【详解】，当时，，

当时，即时，.

故答案为：2

一、单选题

1．（2024·宁夏石嘴山·三模）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（??）

A． B． C．－2 D．2

【答案】A

【分析】由题意可知：，根据倍角公