专题2.5 勾股定理与线段长（压轴题专项讲练）（浙教版）（解析版）.pdfVIP

专题2.5勾股定理与线段长

【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．

（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长度；

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（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF+EF＝AE．

【思路点拨】

（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得BD＝5，由勾股定理计算可得AD的长，由等腰直角三角形性质

得DF＝5，最后由线段的差可得结论；

（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△CHB≌△AEF（SAS），得AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，由

等腰三角形三线合一的性质得EF＝FH，最后由勾股定理和等量代换可得结论．

【解题过程】

解：（1）如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝CD，

∵BC＝10，

∴BD＝5，

Rt△ABD中，∵AB＝13，

∴AD=2―2=132―52=12，

Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°，

∴△BDF是等腰直角三角形，

∴DF＝BD＝5，

∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7；

（2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CF、CH，

在△CHB和△AEF中，

=

∵∠=∠=45°，

=

∴△CHB≌△AEF（SAS），

∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，

∴∠CEF＝∠CHE，

∴CE＝CH，

∵BD＝CD，FD⊥BC，

∴CF＝BF，

∴∠CFD＝∠BFD＝45°，

∴∠CFB＝90°，

∴EF＝FH，

222

Rt△CFH中，由勾股定理得：CF+FH＝CH，

222

∴BF+EF＝AE．

1．（2021秋•泗阳县期末）已知直角三角形的两条边长分别是3和4，那么这个三角形的第三条边的长为

（）

A．5B．25C．7D．5或7

【思路点拨】

分两种情况：当3和4都是直角边时；当4是斜边长时；分别利用勾股定理计算出第三边长即可．

【解题过程】

解：当3和4都是直角边时，第三边长为：32+42=5；

当4是斜边长时，第三边长为：42―32=7．

故选：D．

2．（2021秋•苏州期末）如图，数轴上点A表示的数是﹣1，点B表示的数是1，BC＝1，∠ABC＝90°，以

点A为圆心，AC长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点P，则点P表示的数是（）

A．5―1B．5―2C．3―1D．2―3

【思路点拨】

首先根据勾股定理求出AC长，再根据圆的半径相等可知AP＝AC，即可得出答案．

【解题过程】

解：∵BC⊥AB，

∴∠ABC＝90°，

∴AC=12+22=5，

∵以A为圆心，AC为半径作弧交数轴于点P，

∴AP＝AC=5，

∴点P表示的数是﹣1+5；

故选：A．

3．（2021秋•莲池区期末）如图，作Rt△ABC，∠C＝90°，BC＝2AC；以A为圆心，AC长为半径画弧，交

斜边AB于点D；以B为圆心，以BD长为半径画弧，交BC于点E．若BC＝6，则CE＝（）

A．9﹣35B．35―6C．35―3D．35―1

【思路点拨】

根据题意勾股定理求出AB的长，由AD＝AC得出BD，再根据BE＝BD，即可求出CE的长．

【解题过程】

解：∵BC＝2AC，BC＝6，

∴AC＝3，

由勾股定理得AB=2+2=32+62=35，

∵AC＝AD，