人教版九年级数学上册专题14圆的综合问题（专项突破）解析版.docxVIP

专题14圆的综合性问题

【思维导图】

◎突破一：圆与三角形的综合问题

例．（2021·江苏南通·一模）

(1)如图1，CA＝CD，∠1＝∠2，BC＝EC．求证：∠A＝∠D．

(2)如图2，按以下步骤画图：

①以线段AB的中点O为圆心，以AO的长为半径画半圆；

②分别以点A，点B为圆心，以AO的长为半径画弧，分别交半圆于点C，点D；

③连接OC，OD，CD．若AB＝4，求△COD的面积．

【答案】(1)证明见解析

(2)①作图见解析，②作图见解析，③

【分析】（1）根据SAS证明△ACB≌△DEC即可．

（2）证明△COD是等边三角形，即可解决问题．

(1)

证明：如图所示：

∵∠ACB＝∠1+∠ACE，∠DCE＝∠2+∠ACE，

∠1＝∠2，

∴∠ACB＝∠DCE，

在△ABC和△DEC中，

，

∴△ABC≌△DEC（SAS），

∴∠A＝∠D；

(2)

解：如图2中，连接AC，BD．

由作图可知，AC＝OA＝OC＝BD＝OD＝OB，

∴△AOC，△BOD都是等边三角形，

∴∠AOC＝∠BOD＝60°，

∴∠COD＝60°，

∴△COD是等边三角形，

∴S△COD＝×22＝．

【点睛】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．

专训1．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，为的切线，C为切点，D是上一点，过点D作，垂足为F，交于点E，连接并延长交于点G，连接，已知．

(1)若的半径为5，求的长；

(2)试探究与之间的数量关系，写出并证明你的结论．（请用两种证法解答）

【答案】(1)

(2)，证明见解析

【分析】（1）由题意得，，根据得，根据切线的性质得，即，根据题意得，则，即可得，根据角之间的关系和边之间的关系得是等边三角形，即可得∴，则,根据题意得，，，在中，根据锐角三角形函数即可得；

（2）方法一：根据题意和边、角之间得关系得，为等边三角形，可得，在中，根据直角三角形的性质得，即；方法二：连接，过点O作，垂足为H，根据题意得，，即四边形是矩形，所以，???????根据等边三角形的性质得，根据边之间的关系得CE=OD，根据HL得，即可得，所以，即可得．

(1)

解：如图所示，连接．

∵，

∴，

∵，

∴，

∵为的切线，C为切点，

∴，

∴，

∵，垂足为F，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

∵，

∴是等边三角形，

∴，

∴．

∵的半径为5，

∴，

∵是的直径，

∴，

∴在中，．

(2)

，证明如下

证明：方法一：如图所示，

∵，

∴，

∴．

∵，

∴为等边三角形，

∴．

∵，

∴．

∴在中，，

∴，

即；

方法二：如图所示，连接，过点O作，垂足为H，

∴，

∵，

∴四边形是矩形，

∴，???????

∵是等边三角形，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴CE=OD，

∵，

在和中，

∴（HL），

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了圆的综合，平行线的判定与性质，锐角三角函数，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点．

专训2．（2022·河北·廊坊市第四中学二模）如图，已知为不完整的直径，为弦且，，点M、N为上的点，连接，点N从点A开始沿优弧运动，当点M与点B重合时停止．已知，以为直径向内作半圆P．

(1)求的半径；

(2)当点N与点A重合时，求半圆P与所围成的弓形的面积；

(3)①点P的运动路径长是___________；

②当半圆P与相切时，求与夹角的正切值．

【答案】(1)4

(2)

(3)①；②

【分析】（1）根据为的直径，可得∠ABC=90°，再由锐角三角函数，即可求解；

（2）设圆P交AC于点Q，连接PO，OM，PQ，可证得△OAM是等边三角形，从而得到∠OAM=60°，AP=2，进而得到△APQ为等边三角形，再由半圆P与所围成的弓形的面积等于，即可求解；

（3）①由BC=4，，可得点P的运动轨迹为以O圆心，OP长为半径的半圆，求出OP，即可求解；②设半圆P与相切于点D，连接PD，OP，分两种情况讨论：当点D在线段OC上时，当点D在线段OA上时，即可求解．

(1)

解：∵为的直径，

∴∠ABC=90°，

∵，，

∴，

∴BC=4，

∴的半径为4；

(2)

解：如图，设圆P交AC于点Q，连接PO，OM，PQ，

由（1）得：OA=OM=4，

∵，

∴OA=AM=OM，

∴△OAM是等边三角形，

∴∠OAM=60°，AP=2，

∵AP=PQ，

∴△APQ为等边三角形，

∴，AQ=2，

∴半圆P与所围成的弓形的面积等于；

(3)

解：①如图，连接OP，OM，ON，

∵BC=4，，

∴当M与点B重合时，点N与点C重合，

∴点P的运动轨迹为以O圆心，OP长为半径的半圆，

由（1）得：