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练习3个模块，弄懂小学奥数抽屉原理

练习3个模块，弄懂小学奥数抽屉原理

抽屉原理是小学奥数的一个常考知识点。汇总小升初常考知识之

抽屉原理的知识点及解题思路，并准备了三个练习模块，帮助大家掌

握小学奥数的抽屉原理。

抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先

明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷

原则。

抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可

以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用。许多看

起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使

问题得到解决。

一、抽屉原理的定义

(1)举例

桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，

有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我

们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。

(2)定义

一般情况下，把n＋1或多于n＋1个苹果放到n个抽屉里，其中

必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。

二、抽屉原理最常见的形式:

第一抽屉原理

原理1:把多于n＋1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉

里的东西不少于两件。

证明(反证法):如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的

总数至多是n，而不是题设的n＋k(k≥1)，故不可能。

例：20道喜提，小明在两周内做完，每天至少做一道题，证明小

明一定在连续的若干天内恰好做了7道题目。

原理2:把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有

一个抽屉里有不少于m＋1的物体。

证明(反证法):若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放

进mn个物体，与题设不符，故不可能。

例：五一班有56名同学，能否有2个同学在同一周过生日？（请

说明理由）

原理3:把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无

穷个物体。

第二抽屉原理

把(mn－1)个物体放入n个抽屉中,其中必有一个抽屉中至多有(n

－1)个物体

证明(反证法):若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有

mn个物体，与题设矛盾，故不可能。

例：将3×5－1＝14个物体放入5个抽屉中，则必定有一个抽屉

中的物体数少于等于3－1＝2

三、抽屉原理的解题方案

(一)利用公式进行解题

苹果÷抽屉＝商……余数

余数:(1)余数＝1，结论:至少有

(商＋1)个苹果在同一个抽屉里

(2)余数＝x(1＜x＜(n－1))，结论:至少有(商＋1)个苹果在同一个

抽屉里

(3)余数＝0，结论:至少有“商”个苹果在同一个抽屉里

（二）利用最值原理解题

将题目中没用阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简

单，也就是常说的极限思想“任我意”方法

特殊值方法

模块一、利用抽屉原理公式解题

(1)求结论

1.把9条金鱼任意放在8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放

有两条或两条以上金鱼，

2.圆周上有2000个点，在其上任意地标上0,12，…1999(每一点

只标一个数，不同的点标上不同的数)，证明必然存在一点，与它紧相

邻的两个点和这点上所标的三个数之和不小于2999

(2)求抽屉

1把十只小兔放进至多几个笼子里，才能保证至少有一个笼里有两

只或两只以上的小兔?

2.把125本书分给五(2)班的学生，如果其中至少有一个人分到至

少4本书，那么，这个班最多有多少人?

2.把125本书分给五(2)班的学生，如果其中至少有一个人分到至

少4本书，那么，这个班最多有多少人?

(3)求苹果

1.(第十届《小数报》数学竞赛决赛)一次测验共有10道问答题，

每题的评分标准是:回答完全正确，得5分;回答不完全正确，得3分，

回答完全错误或不回答，得0分。至少人参加这次测验，才能保证至

少有