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高考数学知识点总结之空间向量与立体几何--第1页
2019高考数学知识点总结之空间向量与立
体几何
一、考点概要：
1、空间向量及其运算
(1)空间向量的基本知识：
①定义：空间向量的定义和平面向量一样，那些具有大小和
方向的量叫做向量，并且仍用有向线段表示空间向量，且方
向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量。
②空间向量基本定理：
ⅰ定理：如果三个向量不共面，那么对于空间任一向量，
存在唯一的有序实数组x、y、z，使。且把叫做空间的一
个基底，都叫基向量。
ⅱ正交基底：如果空间一个基底的三个基向量是两两相互垂
直，那么这个基底叫正交基底。
ⅲ单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位
向量时，称为单位正交基底，通常用表示。
ⅳ空间四点共面：设O、A、B、C是不共面的四点，则对
空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组x、y、z，使。
③共线向量(平行向量)：
ⅰ定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行
或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作。
ⅱ规定：零向量与任意向量共线；
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高考数学知识点总结之空间向量与立体几何--第1页
高考数学知识点总结之空间向量与立体几何--第2页
ⅲ共线向量定理：对空间任意两个向量平行的充要条件是：
存在实数，使。
④共面向量：
ⅰ定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量；
空间的任意两个向量都是共面向量。
ⅱ向量与平面平行：如果直线OA平行于平面或在内，则说
向量平行于平面，记作。平行于同一平面的向量，也是共
面向量。
ⅲ共面向量定理：如果两个向量、不共线，则向量与向
量、共面的充要条件是：存在实数对x、y，使。
ⅳ空间的三个向量共面的条件：当、、都是非零向量时，
共面向量定理实际上也是、、所在的三条直线共面的充
要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点
在另两条直线所确定的平面内。
ⅴ共面向量定理的推论：空间一点P在平面MAB内的充要
条件是：存在有序实数对x、y，使得，或对于空间任意一
定点O，有。
⑤空间两向量的夹角：已知两个非零向量、，在空间任取
一点O，作，(两个向量的起点一定要相同)，则叫做向量与
的夹角，记作，且。
⑥两个向量的数量积：
ⅰ定义：已知空间两个非零向量、，则叫做向量、的
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高考数学知识点总结之空间向量与立体几何--第2页
高考数学知识点总结之空间向量与立体几何--第3页
数量积，记作，即：。
ⅱ规定：零向量与任一向量的数量积为0。
ⅲ注意：两个向量的数量积也叫向量、的点积(或内积)，
它的结果是一个实数，它等于两向量的模与其夹角的余弦
值。
ⅳ数量积的几何意义：叫做向量在方向上的投影(其中为
向量和的夹角)。
即：数量积等于向量的模与向量在方向上的投影的乘
积。
ⅴ基本性质：
ⅵ运算律：
(2)空间向量的线性运算：
①定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数
乘向量运算如下：
②加法：
③减
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