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大招复数的三角形式

1．复数的三角形式

zabia,bR

对于复数来说，我们可以三角换元，令arcos，brsin，其中

22zrcosisinr0,R

rab0,R，则会有，这就是复数的三角形式，其

rzz

中是复数的模长，称为复数的辐角．由于

z

rcos2kπisin2kπrcosisinz,kZ

，因此复数的辐角会有无穷多个，

02πargz

我们规定在范围内的辐角的值称为辐角的主值，通常记作，

3π

如arg10，argi．



2

ππ

这样虽然z1i2cos2kπisin2kπk,Z，但是我们一般只取辐角的主值



44

ππ

为最后结果，即z2cosisin．



44

2．三角形式下复数的运算

zrcosisin

我们先定义两个复数1111，

zrcosisinr,r0,,R

22221212，并由此对三角形式下复数的运算规律展开讨论：



zzrrcosisin

（1）复数的乘法：12121212．

两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和

zzrcosisinrcosisin

证明因为12111222，所以



zzrrcoscossinsinicossincossinrrcosisin

121212121221121212

．