模块三大招3分式结构递推.docx

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大招3分式结构递推

对于“数列满足分式结构递推式，求数列的通项公式”的问题，我们常采用以下思路处理：

大招解读

第一步：解方程（，替换成x），记方程两根分别为，.

第二步：判断两根，之间的关系，

①当时，数列为等差数列，

②当时，数列为等比数列，进而可得数列的通项公式.

证明：由于数列满足递推式，

令，是关于x的方程的两个实数根，

于是得到，进而有，

于是，于是

，

然后依葫芦画瓢就有.

①当时，得到，于是，

接着取倒数得，

因此数列是公差为的等差数列.

②当时，，

因此数列是公比为的等比数列.

这种分式结构递推求数列的通项公式的方法称为不动点法.

【典例1】

在数列中，，且，求数列的通项公式.

【大招指引】

写出的特征方程，解出特征方程的根，题干中的递推式两端同乘3取倒数构造等差数列，再结合等差数列的通项公式即可求得.

【解析】

特征方程有两个重根：，

，

两边同乘3得

，

两边取倒数

，

，

.

【题后反思】当二阶递推式的特征方程有两相等实根时，可用此方法求出通项公式，即当时，减倒法构造等差数列。

【温馨提醒】本题考查构造数列法求数列的通项公式，涉及等差数列通项公式的求解，确定其特征方程的根是关键.

【举一反三】

1．已知实数列an满足：，点在曲线上.当且时，求数列an的通项公式.

【典例2】

在数列中，，，且，则下列结论成立的是（）

A.????B.

C.????D.

【大招指引】

解方程，可得方程的两根为，，再根据，可得，，两式相除即可求得数列通项，再逐一分析各个选项即可.

【答案】C

【解析】因为，所以，，

两式相除，得，

又，所以，

所以是以为公比的等比数列，

所以，

记，则，所以，所以，

所以，

即，故A错误；

因为，所以，

所以，

同理，，，

所以，

即，故B错误；

，

所以，故C正确；

，所以，故D错误.

故选：C.

【题后反思】根据，可得，，两式相除得出是以为公比的等比数列，是解决本题得关键.

【温馨提醒】当二阶递推式的特征方程有两不相等根时，可用此方法求出通项公式，即当实根时，减除法构造为等比数列.

【举一反三】

2．在数列中，，且，求的通项公式.

3．已知数列中，且，则为（????）

A． B． C． D．

4．已知数列的首项，且，，则满足条件的最大整数（????）

A．2022 B．2023 C．2024 D．2025

5．已知数列满足，且，则（????）

A． B． C． D．

6．已知，，则的通项公式为．

7．已知数列满足，，求数列的通项公式．

8．已知数列满足，且，求数列的通项公式.

9．在数列中，且，求数列的通项公式.

10．已知，，求证:当时，.

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参考答案：

1．

【分析】

变形得到，得到是公差为的等差数列，从而利用等差数列通项公式求出，得到答案.

【详解】由题可知：，

因为，所以，易得，

所以

故数列是公差为的等差数列，又，

则，故.

2．

【分析】根据给定条件，可得特征方程，求出方程的根并求出递推关系，再变形构造等比数列求出通项即得.

【详解】依题意，方程有两个虚数根：，

由，两式相除，

得，因此，

所以.

3．D

【分析】首先构造函数可得，所以为以为首项，公差为的等差数列，由等差数列通项公式即可得解.

【详解】由可得，

即，

所以为以为首项，公差为的等差数列，

所以，

所以.

故选：D.

4．C

【分析】将已知条件恒等变换为，则有是等比数列，从而得，，根据的单调性，即可得答案.

【详解】因为，所以，所以，

所以数列是等比数列，首项为，公比为，

所以，即，

所以

，

而当时，单调递增，

又因为，且，

所以满足条件的最大整数.

故选：C.

【点睛】关键点睛：本题的关键是发现是等比数列，从而由等比数列前项和公式可将表示出来，结合单调性即可得解.

5．C

【分析】对所给式子化简、变形，构造新数列，通过等比数列的定义求出新数列的通项公式，再用累加法求出，进而得到数列的通项公式，即可得到答案.

【详解】因为，由递推知，，所以，

则，有，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，

则，所以

则，所以.

故选：C.

【点睛】利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值。比较复杂的递推公式求通项公式一般需用构造法构造来求，构造法求数列通项公式一般而言包括：取倒数，取对数，待定系数法等,其中待定系数法较为常见.