结构力学数值方法：边界元法(BEM)：BEM中的数值积分方法.pdf

结构力学数值方法：边界元法(BEM)：BEM中的数值积分方

法

1边界元法(BEM)简介

1.1BEM的基本原理

边界元法（BoundaryElementMethod,BEM）是一种数值方法，主要用于求

解偏微分方程的边界值问题。与有限元法（FEM）不同，BEM仅在问题域的边

界上进行离散化，这在处理无限域、半无限域或具有复杂边界条件的问题时具

有显著优势。BEM的基本思想是将偏微分方程转换为边界积分方程，然后在边

界上进行数值求解。

1.1.1基本步骤

1.问题域的边界表示：首先，将问题域的边界用一系列的单元表示，

这些单元可以是线段、三角形或更复杂的形状，具体取决于问题的几何

复杂性。

2.边界积分方程的建立：利用格林公式或其它相关定理，将偏微分

方程转换为边界积分方程。这一步骤是BEM的核心，它将问题从整个域

内转换到仅在边界上进行求解。

3.离散化：将边界积分方程在边界单元上进行离散化，得到一组代

数方程。这通常涉及到数值积分方法，如高斯积分，来近似积分项。

4.求解代数方程：使用线性代数求解技术，如直接求解法或迭代求

解法，求解离散化后的代数方程，得到边界上的未知量。

5.后处理：利用边界上的解，通过积分或其它方法，计算出整个域

内的解。

1.1.2例子

假设我们有一个二维的拉普拉斯方程问题，边界条件为Dirichlet条件。我

们可以通过以下步骤使用BEM求解：

1.边界表示：假设边界由一系列线段单元组成。

2.边界积分方程：利用格林公式，将拉普拉斯方程转换为边界上的

积分方程。

3.离散化：对边界积分方程进行离散化，得到代数方程组。例如，

对于一个简单的线段单元，我们可以使用高斯积分点来近似积分。

4.求解：使用线性代数求解器求解代数方程组。

5.后处理：利用边界上的解，通过格林函数，计算出域内的解。

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1.2BEM与有限元法(FEM)的比较

边界元法与有限元法在处理边界值问题时有显著的不同。FEM在问题域内

进行离散化，而BEM仅在边界上进行离散化。这导致了BEM在处理无限域或

具有复杂边界条件的问题时更为有效，因为它避免了对整个域的离散化，从而

减少了计算量和内存需求。

1.2.1减少计算资源

由于BEM仅在边界上进行离散化，它通常需要的节点数和单元数远少于

FEM，特别是在处理无限域或半无限域问题时。这直接导致了计算资源的减少，

包括计算时间和内存使用。

1.2.2复杂边界条件的处理

BEM在处理复杂边界条件时具有优势。例如，对于无限域问题，BEM可以

使用格林函数来自动处理无限域的影响，而无需对无限域进行离散化。对于具

有复杂几何形状的问题，BEM也能够更有效地处理边界条件，因为它仅需要关

注边界上的单元。

1.2.3算法的复杂性

尽管BEM在某些方面具有优势，但它也带来了算法上的复杂性。BEM的矩

阵通常是满的，而不是稀疏的，这在求解大规模问题时可能会导致计算效率的

降低。此外，BEM的实施通常需要更复杂的数学理论和数值技巧，如高斯积分

和奇异积分的处理。

1.2.4代码示例

下面是一个使用Python和SciPy库来求解一个简单BEM问题的代码示例。

假设我们有一个二维的拉普拉斯方程问题，边界条件为Dirichlet条件。

importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定义边界上的节点和单元

nodes=np.array([[0,0],[1,0],[1,1],[0,1]])

elements=np.array([[0,1],[1,2],[2,3],[3,0]])

#定义边界条件

boundary_conditions=np.array([0,1,0,1])

#初始化矩阵

A=lil_matrix((l