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高中数学解析几何解答题(有答案)
解析几何解答题
1、椭圆G:的两个焦点为F1、F2,短轴两端点B1、B2,已
知
F1、F2、B1、B2四点共圆,且点N(0,3)到椭圆上的点最
远距离为
(1)求此时椭圆G的方程;
(2)设斜率为k(k0)的直线m与椭圆G相交于不同的两点
E、F,Q为EF的中点,问E、F两点能否关于过点P(0,)、
Q的直线对称?若能,求出k的取值范围;若不能,请说明
理由.
解:(1)根据椭圆的几何性质,线段F1F2与线段B1B2互相
垂直平分,故椭圆中心即为该四点外接圆的圆
心…1分
故该椭圆中即椭圆方程可为………3分
设H(x,y)为椭圆上一点,则
……………4分
若,则有最大值…5分
由(舍去)(或b2+3b+927,故无解)……………6分
若…7分
由所求椭圆方程为…8分
(1)设,则由两式相减得
第1页
……③又直线PQ直线m直线PQ方程为
将点Q()代入上式得,……④…11分
由③④得Q()…12分
而Q点必在椭圆内部,
由此得,故当
时,E、F两点关于点P、Q的直线对称14分
2、已知双曲线的左、右顶点分别为,动直线与圆相切,
且与双曲线左、右两支的交点分别为.
(Ⅰ)求的取值范围,并求的最小值;
(Ⅱ)记直线的斜率为,直线的斜率为,那么,是定
值吗?证明你的结论.
解:(Ⅰ)与圆相切,……①
由,得,
,故的取值范围为.
由于,当时,取最小值.6分
(Ⅱ)由已知可得的坐标分别为,
由①,得,为定值.12分
3、已知抛物线的焦点为F,点为直线与抛物线准线的交
点,直线与抛物线相交于、两点,点A关于轴的对称
点为D.
(1)求抛物线的方程。
(2)证明:点在直线上;
第2页
(3)设,求的面积。.
解:(1)
设,,,的方程为.
(2)将代人并整理得,
从而
直线的方程为,
即令
所以点在直线上
(3)由①知,
因为,
故,解得
所以的方程为
又由①知故
4、已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,离心率为,
点(2,3)、在该椭圆上,线段的中点在直线上,且三
点不共线.
(I)求椭圆的方程及直线的斜率;
(Ⅱ)求面积的最大值.
解:(I)设椭圆的方程为,
则,得,.
所以椭圆的方程为.…3分
设直线AB的方程为(依题意可知直线的斜率存在),
第3页
设,则由,得
,由,得,
,设
,易知,
由OT与OP斜率相等可得,即,
所以椭圆的方程为,直线AB的斜率为.……6
分
(II)设直线AB的方程为,即,
由
得,
,.………………8分
点P到直线AB的距离为.
于是的面积为
……10分
设,,其中.
在区间内,,是减函数;在区间内,,是增函数.所
以的最大值为.于是的最大值为18.…12分
5、设椭圆的焦点分别为、,直线:
交轴于点,且.
(Ⅰ)试求椭圆的方程;
(Ⅱ)过、分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交
于、、、四点(如图所示),若四边形的面积为,求的
第4页
直线方程.
解:(Ⅰ)由题意,1分
为的中点2分
即:椭圆方程为3分
(Ⅱ)当直线与轴垂直时,,此时,
四边形的面积不符合题意故舍掉;4分
同理当与轴垂直时,也有四边形的面积不符合题意故舍
掉;5分
当直线,均与轴不垂直时,设:,
代入消去得:6分
设7分
所以,8分
所以,9分
同理11分
所以四边形的面积
由,12分
所以直线或
或或13分
6、已知抛物
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