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圆的方程与应用北师大版复习要点

一、教学内容

本节课主要复习北师大版高中数学必修二第二章“圆的方程与应用”的内容。具体包括：圆的标准方程、圆的一般方程、圆的性质、圆与圆的位置关系、圆的切线方程等。

二、教学目标

1.理解并掌握圆的方程及其应用，能够熟练运用圆的方程解决实际问题。

2.掌握圆的性质，能够判断圆与圆的位置关系。

3.学会用圆的方程解决几何问题，提高空间想象能力和逻辑思维能力。

三、教学难点与重点

重点：圆的方程的求解与应用，圆的性质和圆与圆的位置关系的判断。

难点：圆的方程在实际问题中的应用，圆与圆的位置关系的判断。

四、教具与学具准备

教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备

学具：笔记本、圆规、直尺、橡皮擦

五、教学过程

1.实践情景引入：以生活中的圆形物体为例，如圆桌、圆规等，引导学生思考圆的方程及其应用。

2.圆的方程复习：回顾圆的标准方程和一般方程的求解方法，并通过例题讲解，使学生巩固圆的方程知识。

3.圆的性质复习：讲解圆的性质，如圆的半径、直径、圆心等，并通过随堂练习，使学生掌握圆的性质。

4.圆与圆的位置关系复习：讲解圆与圆的位置关系，如相离、相切、相交等，并通过例题讲解，使学生学会判断圆与圆的位置关系。

5.圆的切线方程复习：讲解圆的切线方程的求解方法，并通过例题讲解，使学生掌握圆的切线方程知识。

6.综合练习：给出几道综合性的练习题，让学生运用所学的圆的方程和性质解决实际问题，巩固所学知识。

六、板书设计

板书设计如下：

圆的方程：

（1）标准方程：（xa）2+（yb）2=r2

（2）一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0

圆的性质：

1.圆心：O（a，b）

2.半径：r

3.直径：2r

4.圆的周长：2πr

5.圆的面积：πr2

圆与圆的位置关系：

1.相离：dR+r

2.相切：d=R+r（内切），d=Rr（外切）

3.相交：RrdR+r

圆的切线方程：

1.切线方程：yy?=k(xx?)

2.切线与半径垂直：k×（b/a）=1

3.切线过圆心：k×（b/a）=1

七、作业设计

1.求解下列圆的方程：

（1）圆心在（2，3），半径为5的圆。

（2）圆心在（3，4），直径为10的圆。

2.判断下列圆与圆的位置关系：

（1）圆O1：x2+y26x+8y15=0与圆O2：x2+y24x6y+9=0。

（2）圆O1：x2+y28x+12y+20=0与圆O2：x2+y26x8y+10=0。

3.求解下列圆的切线方程：

（1）圆心在（1，2），半径为3的圆。

（2）圆心在（2，3），半径为5的圆。

八、课后反思及拓展延伸

1.课后反思：本节课通过对圆的方程和性质的复习，使学生掌握了圆的方程求解方法和性质应用，能够判断圆与圆的位置关系。但在实际问题中的应用还需加强练习。

2.拓展延伸：研究圆的方程在实际问题中的应用，如圆形物体的表面积和体积计算，圆的切割与拼接

重点和难点解析

一、圆的方程的求解与应用

圆的方程是解决圆形问题的关键，主要包括标准方程和一般方程。标准方程适用于圆心在坐标原点的情况，一般方程适用于圆心不在坐标原点的情况。在实际问题中，求解圆的方程需要根据已知条件，如圆心坐标、半径或直径等，代入相应的方程中，解出未知数即可得到圆的方程。

例如，已知圆心坐标为（2，3），半径为5，求解圆的方程。根据标准方程（xa）2+（yb）2=r2，代入已知条件，得到（x2）2+（y3）2=25。这就是所求的圆的方程。

再如，已知圆心坐标为（3，4），直径为10，求解圆的方程。半径为直径的一半，即5。根据标准方程，代入已知条件，得到（x+3）2+（y+4）2=25。这就是所求的圆的方程。

二、圆的性质

圆的性质是解决与圆有关问题的关键，主要包括圆心、半径、直径、周长和面积等。在实际问题中，需要根据已知条件，运用圆的性质进行求解。

例如，已知圆的方程为（x2）2+（y3）2=25，求解圆的半径。根据标准方程，可以看出圆心坐标为（2，3），半径为5。这就是所求的圆的半径。

再如，已知圆的方程为x2+y26x+8y15=0，求解圆的周长和面积。将方程化为标准方程，得到（x3）2+（y+4）2=25。根据标准方程，可以看出圆心坐标为（3，4），半径为5。周长为2πr，即2π×5=10π；面积为πr2，即π×52=25π。这就是所求的圆的周长和面积。

三、圆与圆的位置关系

圆与圆的位置关系主要包括相离、相切和相交。在实际问题中，需要根据已知条件，判断圆与圆的位置关系。

例如，已知圆O1：x2+y26x+8y15=0与圆O2：x2+y24x6y+9=0，求解两圆的位置关系。将两个圆的方程化为标准方程，得到圆O1：（x3）2+（y+4）2=25，圆O2：（x2）2+（y3）2=16。