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专题11倍长中线证全等
1.【阅读理解】
课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:
如图1,△ABC中,若AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合
作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到点E,使DE=AD,请根据小明的方法思考:
(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是B.
A.SSSB.SASC.AASD.HL
(2)求得AD的取值范围是C.
A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7
【感悟】
解题时,条件中若出现“中点”“中线”字样,可以考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已
知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.
【问题解决】
(3)如图2,AD是△ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.求证:AC=
BF.
【解答】(1)解:∵在△ADC和△EDB中
,
∴△ADC≌△EDB(SAS),
故选B;
(2)解:∵由(1)知:△ADC≌△EDB,
∴BE=AC=6,AE=2AD,
∵在△ABE中,AB=8,由三角形三边关系定理得:8﹣6<2AD<8+6,
∴1<AD<7,
故选C.
(3)证明:
延长AD到M,使AD=DM,连接BM,
∵AD是△ABC中线,
∴CD=BD,
∵在△ADC和△MDB中
∴△ADC≌△MDB,
∴BM=AC,∠CAD=∠M,
∵AE=EF,
∴∠CAD=∠AFE,
∵∠AFE=∠BFD,
∴∠BFD=∠CAD=∠M,
∴BF=BM=AC,
即AC=BF.
3.(1)阅读理解:
如图①,在△ABC中,若AB=8,AC=5,求BC边上的中线AD的取值范围.
可以用如下方法:将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD,在△ABE中,利用三角形
三边的关系即可判断中线AD的取值范围是1.5<AD<6.5;
(2)问题解决:
如图②,在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于
点F,连接EF,求证:BE+CF>EF;
(3)问题拓展:
如图③,在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,CB=CD,∠BCD=100°,以C为顶点作一
个50°的角,角的两边分别交AB、AD于E、F两点,连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的
数量关系,并说明理由.
【解答】(1)解:如图①,将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD,则△ACD≌△
EBD,
∴AD=DE,BE=AC=5,
在△ABE中,AB﹣BE<AE<AB+BE,即3<AE<13,
故答案为:1.5<AE<6.5;
(2)证明:如图②,延长FD至N,使DN=DF,连接BN、EN,
在△FDC和△NDB中,
,
∴△FDC≌△NDB(SAS)
∴BN=FC,
∵DF=DN,DE⊥DF,
∴EF=EN,
在△EBN中,BE+BN>EN,
∴BE+CF>EF;
(3)解:BE+DF=EF,
理由如下:如图③,延长AB至点H,使BH=DF,连接CH,
∵∠ABC+∠D=180°,∠HBC+∠ABC=180°,
∴∠HBC=∠D,
在△HBC和△FDC中,
,
∴△HBC≌△FDC(SAS)
∴CH=CF,∠HCB=∠FCD,
∵∠BCD=100°,∠ECF=50°,
∴∠BCE+∠FCD=50°,
∴∠ECH=50°=∠ECF,
在△HCE和△FCE中,
,
∴△HCE≌△FCE(SAS)
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