1.1.1空间向量及其线性运算7题型分类(讲+练)(学生版) 2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义(人教A版2019选择性必修第一册).pdf

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1.1.1空间向量及其线性运算7题型分类

一、空间向量的概念

1.定义:在空间,具有大小和方向的量叫做空间向量.

2.长度或模:向量的大小.

3.表示方法:

①几何表示法:空间向量用有向线段表示;

→→

②字母表示法:用字母a,b,c,…表示;若向量a的起点是A,终点是B,也可记作,其模记为|a|或|

ABAB

|.

4.几类特殊的空间向量

名称定义及表示

零向量长度为0的向量叫做零向量,记为0

单位向量模为1的向量称为单位向量

与向量a长度相等而方向相反的向量,称为a的相反向量,记为-

相反向量

a

如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么

共线向量

这些向量叫做共线向量或平行向量.规定:对于任意向量a,都有0

(平行向量)

∥a

相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量

二、空间向量的线性运算

→→→

加a+b=OA+AB=OB

→→→

减a-b=OA-OC=CA

空间向

量的线→→

当λ0时,λa=λ=;

OAPQ

性运算

数乘→→

当λ0时,λa=λ=;

OAMN

当λ=0时,λa=0

交换律:a+b=b+a;

运算律结合律:a+(b+c)=(a+b)+c,λ(μa)=(λμ)a;

分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb.

三、共线向量

1.空间两个向量共线的充要条件

对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.

2.直线的方向向量

在直线l上取非零向量a,我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.

四、共面向量

1.共面向量

如图,如果表示向量a的有向线段OA所在的直线OA与直线l平行或重合,那么称向量a平行于直线l.如果

直线OA平行于平面α或在平面α内,那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.

2.向量共面的充要条件

如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=

xa+yb.

(一)

空间向

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