1.1.1空间向量及其线性运算7题型分类（讲+练）（学生版） 2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册）.pdf

1.1.1空间向量及其线性运算7题型分类

一、空间向量的概念

1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．

2．长度或模：向量的大小．

3．表示方法：

①几何表示法：空间向量用有向线段表示；

→→

②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或|

ABAB

|.

4．几类特殊的空间向量

名称定义及表示

零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0

单位向量模为1的向量称为单位向量

与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－

相反向量

a

如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么

共线向量

这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0

(平行向量)

∥a

相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量

二、空间向量的线性运算

→→→

加a＋b＝OA＋AB＝OB

→→→

减a－b＝OA－OC＝CA

空间向

量的线→→

当λ0时，λa＝λ＝；

OAPQ

性运算

数乘→→

当λ0时，λa＝λ＝；

OAMN

当λ＝0时，λa＝0

交换律：a＋b＝b＋a；

运算律结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；

分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.

三、共线向量

1．空间两个向量共线的充要条件

对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.

2．直线的方向向量

在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．

四、共面向量

1．共面向量

→

如图，如果表示向量a的有向线段OA所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果

直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．

2．向量共面的充要条件

如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝

xa＋yb.

（一）

空间向