模块六立体几何大招18空间余弦定理.pdf

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大招空间余弦定理与三正弦定理



2222

AD|BC|AB|CD|

1．定理：ACBD

2



证明：ACBDACADABACADACAB





222222

AC|AD||CD|AC|AB||BC|



22



2222

AD|BC|AB|CD|

2

2222

ABCDADBC

ABCDACcos

推论：几何体，异面直线、夹角为，

BD

2ACBD

口诀里里外外前前后后．例如，计算，其中字母和位于计算式中间，

[]“”“”-“”“”AC•BDCB

字母和位于计算式外面，字母和都是计算式的前一个字母，字母和都是计算

ADABCD

式的后一个字母．

2．若三棱锥OABC中，AOC，BOC，AOB，二面角AOCBx，

coscoscos

则有：cosx

sinsin

当x90时，coscoscos

coscoscos

简单记为斜面角水平角竖直角

BOOCBO

证明：coscoscos

AOAOOC

sin

ABOCsin

拓展：设二面角为，则

sin

sin

BAOCsin

设二面角为，则

sin