模块六立体几何大招5三余弦定理.pdf

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大招三余弦定理

处理斜线与平面相交的相关问题时，三余弦定理可以帮助我们快速建立起一个等量关系．

1．三余弦定理

如图所示，为平面内一点，直线是平面的一条过点的斜线，为在平面内的

OαlαOOBOAα

投影，为平面内任一直线，则cosAOCcosAOBcosBOC．

OCα

证明如图所示，作BDOC于点，连接．因为为在平面内的投影，所以

DADOBOAαAB

平面，所以ABOD．又BDOD，，所以OD平面，所以ODAD，

αBDABBABD

ODOBOD

所以cosAOCcosAOBcosBOC．

OAOAOB

2．三余弦定理的应用

三余弦定理实际上构建了水平面上的COB、竖直面上的AOB以及斜面上的

“”“”“”

AOC的余弦之间的关系，知道其中两个角，就能求出另外一个角，可用于求直线与平面

所成的角等相关问题中，能大大简化运算．

试卷第1页，共5页

【典例】正四面体ABCD中，为△BCD的重心，则cosABO

1O_______.

【大招指引】四面体中，，分别为斜线，射影和同点线，故可以联想三余弦定理

ABBOBD.

【解析】如图，由三余弦公式，cosABDcosABOcosOBD，

cosABDcos603

显然ABD60，OBD30，所以cosABO.

cosOBDcos303

3

【答案】

3

【举一反三】

（新课标卷）

2019·Ⅰ

．已知∠，为平面外一点，，点到∠两边，的距离均

1ACB90°PABCPC2PACBACBC

为，那么到平面的距离为．

3PABC

【典例2】平行六面体ABCDABCD中，已知底面四边形ABCD为正方形，

1111



AABAAD，其中ABa，AAb，体对角线AC1，则b的最大值为______．

1111

3

AEABAEACAEADAEEFAEEG

【大招指引】平行六面体中，得到1，1，1，1