3.2.2双曲线的简单几何性质10题型分类（讲+练）（学生版） 2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册）.pdf

3.2.2双曲线的简单几何性质10题型分类

一、双曲线的性质

2222

标准方程xyyx

－＝1(a0，b0)－＝1(a0，b0)

a2b2a2b2

图形

范围x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a

对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点

顶点坐标A(－a，0)，A(a，0)A(0，－a)，A(0，a)

1212

性质

ba

渐近线y＝±xy＝±x

ab

c

离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2

a

222

a，b，c间的关系c＝a＋b(ca0，cb0)

二、等轴双曲线

实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为2.

三、直线与双曲线的位置关系

设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①

22

xy

双曲线C：－＝1(a0，b0)，②

a2b2

222222222

把①代入②得(b－ak)x－2amkx－am－ab＝0.

b

222

(1)当b－ak＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．

a

b

222222222222

(2)当b－ak≠0，即k≠±时，Δ＝(－2amk)－4(b－ak)(－am－ab)．

a

Δ0⇒直线与双曲线有两个公共点；

Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点；

Δ0⇒直线与双曲线有0个公共点．

四、弦长公式

若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x，y)，B(x，y)两点，则|AB|＝

1122

＋2＋2－.

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