模块六立体几何大招13外接球之折叠模型.docx

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大招13??外接球之折叠模型

①直二面角模型

设二面角为直角，即平面平面，则（其中，为两个三角形外接圆半径，为交线的长）

②全等二面角模型

设二面角为，则（当两个三角形外接圆半径相等时，为三角形外接圆半径，为交线的长）

③一般二面角模型

设二面角为，

，（其中，为两个三角形外接圆半径，为交线的长）

使用范围：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠．

推导过程：两个全等的三角形或者等腰拼在一起，或者菱形折叠，设折叠的二面角．如图，作左图的二面角剖面图如右图：和分别为外心，故．

公式：

【典例1】已知菱形的边长为2，对角线，现将沿折起，使得二面角为，则折得几何体的外接球的表面积为．

【大招指引】将沿折起后，取中点为，连接，，得到，分别记三角形与的重心为、，记该几何体的外接球球心为，连接，，证明，求出，再推出，连接，由勾股定理求出，即可得出外接球的表面积．

【解析】因为菱形的边长为2，对角线，所以与都是边长为的等边三角形；

将沿折起后，取中点为，连接，，则，，

所以即为二面角的平面角，所以；

分别记三角形与的重心为、，则，；即；

因为与都是边长为的等边三角形，

所以点是的外心，点是的外心；

记该几何体的外接球球心为，连接，，

根据球的性质，可得平面，平面，

所以与都是直角三角形，且为公共边，

所以，因此，

所以；

因为，，，且平面，平面，

所以平面；

又平面，所以，

连接，则外接球半径为，

所以外接球表面积为．

故答案为：．

【题后反思】本题主要考查了有关球的组合体问题，其中解答中涉及到球的基本性质的应用、球的表面积公式、三棱锥的线面位置关系等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，本题的解答中正确求出四面的外接球的半径是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．

【温馨提醒】求解几何体外接球体积或表面积问题时，一般需要结合几何体结构特征，确定球心位置，求出球的半径，即可求解；在确定球心位置时，通常需要先确定底面外接圆的圆心，根据球心和截面外接圆的圆心连线垂直于截面，即可确定球心位置；有时也可将几何体补型成特殊的几何体（如长方体），根据特殊几何体的外接球，求出球的半径．

【举一反三】

1．已知四边形ABCD为菱形，AB＝1，∠BAD＝60°，将其沿对角线BD折成四面体，使，若四面体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积为（????）

A． B． C． D．

【典例2】在三棱锥中，，则三棱锥的外接球的表面积为（）

A．????B．????C．????D．

【大招指引】由条件求得与的外接圆的半径为2，是等边三角形，由此作出过平面的截面，先在中求出，再利用勾股定理求得，从而求得三棱锥的外接球的表面积．

【解析】取中点，连接，如图，

因为，所以，

所以在中，，，，

所以，

设外接圆圆心为，半径为，则，即；

同理可得：，的外接圆半径也为2，

因为，所以是等边三角形，

则，即二面角为，

球心在平面上，过平面的截面如图所示，则，

所以在中，，

所以，即，

所以外接球的表面积．

故选：D．

【题后反思】本小题主要考查几何体外接球的表面积的求法，考查三角形外心的求解方法．在解决有关几何体外接球有关的问题时，主要的解题策略是找到球心，然后通过解三角形求得半径．找球心的方法是先找到一个面的外心，再找另一个面的外心，球心就在两个外心垂线的交点位置．

【温馨提醒】解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：

（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；

（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；

（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解．

【举一反三】

2．已知边长为的菱形中，，沿对角线折成二面角为的四面体，则四面体的外接球的表面积为

A． B． C． D．

3．已知菱形中，，对角线与的交点为，把菱形沿对角线折起，使得，则折得的几何体的外接球的表面积为（????）

A． B． C． D．

4．在菱形中，，将沿对角线折起，使点A到达的位置，且二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（????）

A． B． C． D．

5．已知菱形中，，将其沿对角线折成四面体，使得二面角的大小为，若该四面体的所有顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（????）

A． B． C． D．

6．如图，菱形的边长为，，将其沿着对