结构力学基础概念：位移法：位移法中的边界条件处理.pdf

结构力学基础概念：位移法：位移法中的边界条件处理

1位移法简介

1.1位移法的基本原理

位移法是结构力学中一种重要的分析方法，它以结构的位移作为基本未知

量，通过建立位移与内力之间的关系，进而求解结构的内力和变形。位移法的

基本原理可以概括为以下几点：

1.位移协调条件：在结构中，位移是连续的，即在结构的任何一点，

位移必须满足连续性条件。这意味着，如果结构由多个部分组成，这些

部分在连接处的位移必须相等。

2.平衡条件：在每个节点上，作用于该节点的所有外力和内力必须

达到平衡。这是基于牛顿第二定律的直接应用，即∑F=0。

3.物理关系：位移与内力之间的关系，通常通过材料的应力-应变关

系来表达。例如，在线弹性范围内，应力与应变成正比，即σ=Eε，其

中E是弹性模量，σ是应力，ε是应变。

4.边界条件：边界条件是位移法中不可或缺的一部分，它规定了结

构在边界上的位移或力的值。边界条件可以分为位移边界条件和力边界

条件。位移边界条件通常用于固定端或铰接端，而力边界条件则用于施

加外力或力矩的节点。

1.1.1示例：简单梁的位移法分析

假设我们有一根简支梁，长度为L，两端固定，中间受到集中力P的作用。

我们可以通过位移法来分析这根梁的内力和变形。

1.位移假设：假设梁的中点位移为u，两端位移为0（因为是固定

端）。

2.平衡条件：在梁的中点，集中力P与梁的支反力相平衡。在两端，

支反力与梁的内力（剪力和弯矩）相平衡。

3.物理关系：梁的弯矩与曲率成正比，而曲率又与梁的位移的二阶

导数成正比。因此，我们可以通过微分方程来表达弯矩与位移之间的关

系。

4.边界条件：在两端，位移为0，即u(0)=0和u(L)=0。在中点，集

中力P作用于梁上。

通过解微分方程并应用边界条件，我们可以求得梁的位移u，进而计算出

梁的内力（剪力和弯矩）。

1.2位移法与力法的比较

位移法和力法是结构力学中两种主要的分析方法，它们各有优缺点，适用

1

于不同的结构分析场景。

位移法：

o优点：位移法通常更直观，因为它直接以位移作为基本未

知量，更符合工程实际。此外，位移法在处理连续体结构时更为

方便，因为它不需要预先假设内力的分布。

o缺点：位移法在处理复杂边界条件时可能较为困难，因为

需要精确地表达位移与内力之间的关系。

力法：

o优点：力法在处理具有多个冗余力的结构时更为有效，因

为它直接以冗余力作为基本未知量，通过最小化结构的总势能来

求解。

o缺点：力法在处理连续体结构时可能不如位移法直观，因

为它需要假设内力的分布形式，这在某些情况下可能不准确。

1.2.1示例：位移法与力法在分析桁架结构时的比较

假设我们有一个平面桁架结构，由多个杆件组成，受到外力的作用。我们

可以通过位移法和力法来分析这个桁架的内力。

位移法：我们首先假设每个节点的位移，然后通过平衡条件和物

理关系来建立位移与内力之间的关系。最后，通过求解这些方程，我们

可以得到每个节点的位移，进而计算出每个杆件的内力。

力法：我们首先假设桁架中存在冗余力，然后通过最小化结构的

总势能来求解这些冗余力。最后，通过这些冗余力，我们可以计算出每

个杆件的内力。

在实际应用中，位移法可能更适合于桁架结构的分析，因为它不需要假设

内力的分布，而力法则可能在处理具有多个冗余力的桁架时更为有效。然而，

选择哪种方法取决于具体问题的复杂性和工程师的偏好。

以上内容详细介绍了位移法的基本原理和它与力