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结构力学数值方法：边界元法(BEM)：边界积分方程理论

1绪论

1.1边界元法的历史与发展

边界元法（BoundaryElementMethod,BEM）起源于20世纪60年代，最初

是在解决弹性力学问题中作为一种替代有限元法（FEM）的数值方法被提出的。

它的理论基础可以追溯到格林函数和边界积分方程的使用，这些概念在19世纪

末就已经被数学家们所发展。然而，直到计算机技术的成熟，边界元法才得以

广泛应用，因为它需要大量的计算资源来处理复杂的边界条件和积分计算。

在发展过程中，边界元法逐渐被应用于各种工程领域，包括但不限于结构

力学、流体力学、电磁学、声学和热传导等。它的优势在于能够将三维问题简

化为二维边界上的问题，从而大大减少了计算量和所需的内存资源。此外，边

界元法在处理无限域和半无限域问题时，比有限元法更为有效，因为它不需要

对无限域进行人为的截断。

1.2边界元法的基本原理与优势

边界元法的基本原理是将偏微分方程问题转化为边界上的积分方程问题。

这一转化是通过格林函数和边界积分方程理论实现的。格林函数描述了在边界

上施加单位点源时，场的响应情况。通过格林函数，可以将场的内部值表示为

边界上值的积分形式，从而将问题的求解范围从整个域缩小到边界上。

1.2.1基本步骤

1.问题离散化：将连续的边界划分为一系列离散的单元，每个单元

上假设场量是常数或线性变化。

2.边界积分方程建立：根据格林函数和边界条件，建立边界积分方

程。

3.数值求解：将边界积分方程转化为代数方程组，通过数值方法求

解。

4.后处理：从求解的边界值中，通过格林函数反演得到内部场的值。

1.2.2优势

减少计算资源：由于只在边界上进行计算，大大减少了计算量和

内存需求。

无限域问题的处理：边界元法不需要对无限域进行人为截断，因

此在处理无限域问题时更为准确。

高精度：在边界上，可以使用高阶单元和精确的积分规则，从而

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获得更高的计算精度。

易于处理复杂边界条件：边界元法特别适合处理复杂的边界条件，

如接触、摩擦和裂纹等。

1.2.3示例

虽然在本教程中不提供具体代码，但以下是一个简化版的边界元法求解弹

性力学问题的步骤示例：

假设我们有一个二维弹性体，边界上施加了已知的位移和力。我们的目标

是求解整个域内的应力和位移。

1.离散化：将边界划分为N个线性单元。

2.建立边界积分方程：对于每个单元i，根据格林函数和边界条件，

建立边界积分方程：

​​

⋅=−⋅

其中，是格林函数，是边界上的应力，是边界上

的外法向量，是边界上的位移。

3.数值求解：将上述积分方程转化为N个未知数的代数方程组，使

用数值积分方法（如高斯积分）求解。

4.后处理：从求解的边界应力和位移中，使用格林函数反演得到内

部的应力和位移分布。

边界元法的这一过程在实际应用中会涉及到复杂的数学和编程，但其核心

思想是将问题简化到边界上，从而提高计算效率和精度。

2边界积分方程理论基础

2.1格林函数与基本解

格林函数是边界元法(BEM)中一个核心概念，它描述了在给定点源处施加单

位点荷载时，系统在空间中任意一点的响应。在结构力学中，格林函数通常与

拉普拉斯方程、泊松方程或弹性方程等偏微分方程相关联，用于求解这些方程

的解。

2.1.1格林函数的定义

对于一个线性、齐次的偏微分方程，格林函数,′满足以下条件