结构力学数值方法：迭代法：大型结构分析的迭代方法.pdf

结构力学数值方法：迭代法：大型结构分析的迭代方法

1绪论

1.1结构力学与数值方法的简介

结构力学是研究结构在各种载荷作用下的响应，包括变形、应力和稳定性。

它在土木工程、机械工程、航空航天工程等领域中扮演着核心角色。数值方法，

尤其是迭代法，为解决大型结构分析中的复杂问题提供了有效途径。这些方法

通过将连续问题离散化，转化为一系列线性或非线性方程组，然后使用计算机

进行求解。

1.2迭代法在结构分析中的应用

迭代法是一种逐步逼近精确解的数值计算方法。在结构分析中，迭代法常

用于求解非线性问题，如材料非线性、几何非线性或边界条件非线性。例如，

考虑一个非线性结构问题，其平衡方程可以表示为：

=

其中，是刚度矩阵，它依赖于位移向量，是外力向量。由于随

变化，直接求解上述方程组可能非常困难。迭代法通过逐步更新和，最终

收敛到问题的解。

1.2.1示例：Newton-Raphson迭代法

Newton-Raphson迭代法是一种广泛应用于结构分析中的迭代求解技术。它

基于泰勒级数展开，通过迭代更新位移向量来求解非线性方程组。迭代过程

可以表示为：

=−

=+

1

其中，是在当前位移下的刚度矩阵，是位移增量。

Python代码示例

假设我们有一个简化的非线性结构问题，其中刚度矩阵和外力向量可

以用以下函数表示：

importnumpyasnp

defstiffness_matrix(u):

#简化示例：刚度矩阵随位移线性变化

K=np.array([[1+u[0],0],[0,1+u[1]]])

returnK

1

defforce_vector():

#外力向量

P=np.array([10,20])

returnP

使用Newton-Raphson迭代法求解位移向量：

defnewton_raphson(u0,tol=1e-6,max_iter=100):

u=u0

foriinrange(max_iter):

K=stiffness_matrix(u)

P=force_vector()

residual=P-K@u

ifnp.linalg.norm(residual)tol:

break

delta_u=np.linalg.solve(K,residual)

u+=delta_u

returnu

#初始位移向量

u0=np.array([0,0])

#运行迭代法

u_solution=newton_raphson(u0)

print(Solution:,u_solution)

1.2.2解释

在上述示例中，我们定义了一个简化的刚度矩阵函数stif