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结构力学数值方法：积分法：有限元法入门

1绪论

1.1有限元法的历史和发展

有限元法（FiniteElementMethod,FEM）的起源可以追溯到20世纪40年

代末，由工程师和数学家共同开发，最初用于解决结构工程中的复杂问题。

1943年，R.Courant在解决弹性力学问题时，提出了使用三角形区域来逼近连

续体的想法，这被认为是有限元法的雏形。然而，有限元法真正的发展和广泛

应用是在1950年代，随着计算机技术的兴起，有限元法的计算能力得到了极大

的提升，使其能够解决更为复杂和大型的工程问题。

1960年代，随着J.H.Argyris和O.C.Zienkiewicz等人的工作，有限元法开始

系统化和理论化，形成了完整的数学框架和工程应用体系。从那时起，有限元

法不仅在结构力学领域，还在流体力学、热力学、电磁学等多个物理领域得到

了广泛应用，成为现代工程分析和设计中不可或缺的工具。

1.2有限元法的基本概念和应用范围

1.2.1基本概念

有限元法是一种数值计算方法，用于求解偏微分方程的近似解。其核心思

想是将连续的物理域离散化为有限数量的单元，每个单元用一组节点来表示，

通过在这些节点上定义未知量，将连续问题转化为离散问题。在每个单元内部，

物理量（如位移、温度、压力等）被假设为节点值的某种函数，这种函数称为

插值函数或形函数。

有限元法的计算过程通常包括以下几个步骤：1.建模：将实际问题抽象为

数学模型，确定需要求解的偏微分方程。2.离散化：将连续的物理域划分为有

限数量的单元，每个单元用一组节点表示。3.插值：在每个单元内部，物理量

被假设为节点值的插值函数。4.求解：通过求解单元的局部方程，然后将所有

单元的方程组合成一个全局方程，最后求解这个全局方程得到节点上的未知量。

5.后处理：分析和可视化求解结果，评估解的准确性和可靠性。

1.2.2应用范围

有限元法的应用范围极其广泛，几乎涵盖了所有工程和科学领域中涉及的

物理问题。以下是一些主要的应用领域：-结构力学：分析结构的应力、应变

和位移，预测结构的强度和稳定性。-流体力学：模拟流体的流动、压力分布

和热传递，用于设计飞机、船舶和管道等。-热力学：分析热传导、热对流和

热辐射，用于优化热能设备和电子产品的散热设计。-电磁学：模拟电磁场的

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分布，用于设计天线、电机和电缆等。-地质力学：研究地壳的变形和应力分

布，用于地震预测和矿产资源开发。-生物医学工程：分析人体组织的力学行

为，用于设计医疗器械和研究疾病机理。

有限元法不仅能够处理线性问题，还能够处理非线性问题，包括材料非线

性、几何非线性和边界条件非线性等，使其成为解决复杂工程问题的强大工具。

1.2.3示例：使用Python进行简单有限元分析

下面是一个使用Python进行简单有限元分析的例子，我们将解决一个一维

弹性杆的应力分析问题。假设我们有一根长度为1米的弹性杆，两端固定，受

到均匀分布的轴向力作用。我们将使用有限元法来计算杆的应力分布。

importnumpyasnp

importscipy.linalg

#材料属性

E=200e9#弹性模量，单位：Pa

A=0.001#截面积，单位：m^2

#几何参数

L=1.0#杆的长度，单位：m

n=10#单元数量

#载荷

F=1000#轴向力，单位：N

#单元长度

h=L/n

#单元刚度矩阵

k=(E*A)/h*np.array([[1,-1],[-1,1]])

#全局刚度矩阵

K=np.zeros((n+1,n+1))

foriinrange(n):

K[i:i+2,i:i+2]+=k

#边界条件

K[0,:]=0

K[:,0]=0

K[0,0]=1

K[-1,:]=0

K[:,-1]=0

K[-1,-1]=1

2

#载荷向量

F_vec=np.zeros(n+1)

F_vec[-1]=F

#求解位移向量

U=scipy.linalg.solve(K,F_vec)

#计算应力

stress=np.zeros(n)

foriinrange