结构力学数值方法：有限体积法(FVM)：FVM的非线性问题求解.pdf

结构力学数值方法：有限体积法(FVM)：FVM的非线性问题

求解

1绪论

1.1有限体积法的基本概念

有限体积法（FiniteVolumeMethod,FVM）是一种广泛应用于流体力学、热

传导、结构力学等领域的数值方法。它基于守恒定律，将计算域划分为一系列

控制体积，然后在每个控制体积上应用守恒方程，从而将偏微分方程转化为代

数方程组。FVM的核心优势在于它能够精确地处理守恒性质，如质量、动量和

能量的守恒，这使得它在处理复杂流体和结构问题时特别有效。

1.1.1控制体积

控制体积是FVM中的基本单元，通常由网格节点围成。在结构力学中，控

制体积可以是结构的微小部分，如一个单元或一个节点周围的区域。控制体积

的选择和划分直接影响到数值解的精度和计算效率。

1.1.2守恒方程

在结构力学中，守恒方程通常涉及力的平衡和能量守恒。例如，对于非线

性弹性问题，应力-应变关系可能不再是线性的，这就需要在每个控制体积上应

用非线性的守恒方程。FVM通过在控制体积上积分守恒方程，然后应用数值近

似方法（如中心差分、上风差分等）来离散化这些方程，从而得到可用于求解

的代数方程组。

1.2非线性问题在结构力学中的重要性

非线性问题在结构力学中普遍存在，尤其是在材料行为、几何变形和边界

条件等方面。非线性材料行为，如塑性、粘弹性、超弹性等，意味着材料的应

力-应变关系不再是简单的线性关系。几何非线性则涉及到大变形和大位移，其

中结构的形状和尺寸的变化对力的分布有显著影响。边界条件的非线性，如接

触问题和摩擦问题，也增加了问题的复杂性。

1.2.1非线性材料行为

在处理非线性材料行为时，FVM需要在每个控制体积上应用非线性的本构

关系。例如，对于塑性材料，应力-应变关系可能遵循vonMises屈服准则或

Tresca屈服准则，这需要在数值求解过程中进行迭代，直到满足屈服条件为止。

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1.2.2几何非线性

几何非线性问题通常出现在大变形结构的分析中，如桥梁、飞机机翼等。

在这些情况下，结构的变形会影响其刚度矩阵，从而导致非线性的力-位移关系。

FVM通过在每个时间步或每个迭代步更新控制体积的几何形状，来处理这种非

线性。

1.2.3边界条件的非线性

接触问题和摩擦问题在结构力学中是典型的边界条件非线性问题。接触问

题涉及到两个或多个物体之间的相互作用，而摩擦问题则涉及到物体表面之间

的摩擦力。这些非线性边界条件需要在FVM的求解过程中被准确地模拟，以确

保结果的正确性。

1.2.4示例：非线性弹性问题的FVM求解

假设我们有一个非线性弹性杆，其应力-应变关系由以下方程描述：

=

其中，是应力，是应变，是非线性弹性模量，它随应变而变化。我

们可以通过FVM来求解这个杆在给定载荷下的变形。

步骤1：划分控制体积

首先，将杆划分为一系列控制体积，每个控制体积由两个节点定义。假设

杆的长度为1m，我们将其划分为10个控制体积，每个控制体积的长度为0.1m。

步骤2：应用守恒方程

在每个控制体积上应用力的平衡方程：

∇⋅=​

其中，是表面力，是控制体积的表面，是控制体积的体积。对于一维问

题，这可以简化为：

+1/2−−1/2=0

步骤：数值离散化

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使用中心差分法来离散化应力：

+1+

+1/2=+1/2

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1

其中，是控制体积和之间的平均应变。

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