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欧几里德和几何原本

《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，是当时

整个希腊数学成果、方法、思想和精神的结晶，其内容和形式对几何

学本身和数学逻辑的发展有着巨大的影响。自它问世之日起，在长达

二千多年的时间里一直盛行不衰。它历经多次翻译和修订，自1482

年第一个印刷本出版后，至今已有一千多种不同的版本，是至今流传

最广、影响最大的一部世界数学名著。除了《圣经》之外，没有任何

其他著作，其研究、使用和传播之广泛，能够与《几何原本》相比。

但《几何原本》超越民族、种族、宗教信仰、文化意识方面的影响，

却是《圣经》所无法比拟的。

《几何原本》的重要性并不在于书中提出的哪一条定理。书中

提出的几乎所有的定理在欧几里德之前就已经为人知晓，使用的许多

证明亦是如此。欧几里得的伟大贡献在于他将这些材料做了整理，并

在书中作了全面的系统阐述。这包括首次对公理和公设作了适当的选

择（这是非常困难的工作，需要超乎寻常的判断力和洞察力）。然后，

他仔细地将这些定理做了安排，使每一个定理与以前的定理在逻辑上

前后一致。在需要的地方，他对缺少的步骤和木足的证明也作了补充。

值得一提的是，《几何原本》虽然基本上是平面和立体几何的发展，

也包括大量代数和数论的内容。《几何原本》作为教科书使用了两千

多年。在形成文字的教科书之中，无疑它是最成功的。欧几里得的杰

出工作，使以前类似的东西黯然失色。该书问世之后，很快取代了以

前的几何教科书，而后者也就很快在人们的记忆中消失了。《几何原

本》是用希腊文写成的，后来被翻译成多种文字。它首版于1482年，

即谷登堡发明活字印刷术3o多年之后。自那时以来，《几何原本》已

经出版了上千种不同版本。在训练人的逻辑推理思维方面，《几何原

本》比亚里土多德的任何一本有关逻辑的著作影响都大得多。在完整

的演绎推理结构方面，这是一个十分杰出的典范。正因为如此，自本

书问世以来，思想家们为之而倾倒。

公元前7世纪之后，希腊几何学迅猛地发展，积累了丰富的材

料。希腊学者们开始对当时的数学知识作有计划的整理，并试图将其

组成一个严密的知识系统。首先做出这方面尝试的是公元前5世纪的

希波克拉底（Hippocrates），其后经过了众多数学家的修改和补充。

到了公元前4世纪时，希腊学者们已经为建构数学的理论大厦打下了

坚实的基础。

欧几里得在前人工作的基础之上，对希腊丰富的数学成果进行

了收集、整理，用命题的形式重新表述，对一些结论作了严格的证明。

他最大的贡献就是选择了一系列具有重大意义的、最原始的定义和公

理，并将它们严格地按逻辑的顺序进行排列，然后在此基础上进行演

绎和证明，形成了具有公理化结构的，具有严密逻辑体系的《几何原

本》。

《几何原本》的希腊原始抄本已经流失了，它的所有现代版本

都是以希腊评注家泰奥恩（Theon，约比欧几里得晚七百年）编写的

修订本为依据的。《几何原本》的泰奥恩修订本分13卷，总共有465

个命题，其内容是阐述平面几何、立体几何及算术理论的系统化知识。

第一卷首先给出了一些必要的基本定义、解释、公设和公理，

还包括一些关于全等形、平行线和直线形的熟知的定理。该卷的最后

两个命题是毕达哥拉斯定理及其逆定理。这里我们想到了关于英国哲

学家T．霍布斯的一个小故事：有一天，霍布斯在偶然翻阅欧几里得

的《几何原本》，看到毕达哥拉斯定理，感到十分惊讶，他说：“上帝

啊！这是不可能的。”他由后向前仔细阅读第一章的每个命题的证明，

直到公理和公设，他终于完全信服了。

第二卷篇幅不大，主要讨论毕达哥拉斯学派的几何代数学。

第三卷包括圆、弦、割线、切线以及圆心角和圆周角的一些熟

知的定理。这些定理大多都能在现在的中学数学课本中找到。

第四卷则讨论了给定圆的某些内接和外切正多边形的尺规作

图问题。

第五卷对欧多克斯的比例理论作了精彩的解释，被认为是最重

要的数学杰作之一。据说，捷克斯洛伐克的一位并不出名的数学家和

牧师波尔查诺（Bolzano，1781－1848），在布拉格度假时，恰好生病，

为了分散注意力，他拿起《几何原本》阅读了第五卷的内容。他说，

这种高明的方法使他兴奋无比，以致于从病痛中完全解脱出来。此后，

每当他朋友生病时，他总是把这作为一剂灵丹妙药问病人推荐。

第七、八、九卷讨论的是初等数论，给出了求两个或多个整数

的最大公因子的“欧几里得算法