专题07 2024年不等式(解析版).docx

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专题07不等式

1.(2024新课标全国Ⅰ卷)已知函数为的定义域为R,,且当时,则下列结论中一定正确的是(????)

A. B.

C. D.

【答案】B

【分析】代入得到,再利用函数性质和不等式的性质,逐渐递推即可判断.

【详解】因为当时,所以,

又因为,

则,

,则依次下去可知,则B正确;

且无证据表明ACD一定正确.

故选:B.

【点睛】关键点点睛:本题的关键是利用,再利用题目所给的函数性质,代入函数值再结合不等式同向可加性,不断递推即可.

2.(2024全国甲卷数学(理)(文))若实数满足约束条件,则的最小值为(????)

A. B. C. D.

【答案】D

【分析】画出可行域后,利用的几何意义计算即可得.

【详解】实数满足,作出可行域如图:

由可得,

即的几何意义为的截距的,

则该直线截距取最大值时,有最小值,

此时直线过点,

联立,解得,即,

则.

故选:D.

3.(2024新高考北京卷)已知,是函数图象上不同的两点,则下列正确的是(????)

A. B.

C. D.

【答案】A

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB;举例判断CD即可.

【详解】由题意不妨设,因为函数是增函数,所以,即,

对于选项AB:可得,即,

根据函数是增函数,所以,故A正确,B错误;

对于选项C:例如,则,

可得,即,故C错误;

对于选项D:例如,则,

可得,即,故D错误,

故选:A.

4.(2024新高考北京卷)若集合表示的图形中,两点间最大距离为d、面积为S,则(????)

A., B.,

C., D.,

【答案】C

【分析】先以t为变量,分析可知所求集合表示的图形即为平面区域,结合图形分析求解即可.

【详解】对任意给定,则,且,

可知,即,

再结合x的任意性,所以所求集合表示的图形即为平面区域,

如图阴影部分所示,其中,

可知任意两点间距离最大值;

阴影部分面积.

故选:C.

【点睛】方法点睛:数形结合的重点是“以形助数”,在解题时要注意培养这种思想意识,做到心中有图,见数想图,以开拓自己的思维.使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义,解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系,准确利用几何图形中的相关结论求解.

5.(2024新高考上海卷)已知则不等式的解集为.

【答案】

【分析】求出方程的解后可求不等式的解集.

【详解】方程的解为或,

故不等式的解集为,

故答案为:.

6.(2024全国甲卷数学(理)(文))实数满足.

(1)证明:;

(2)证明:.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)直接利用即可证明.

(2)根据绝对值不等式并结合(1)中结论即可证明.

【详解】(1)因为,

当时等号成立,则,

因为,所以;

(2)

一、单选题

1.(2024·广西·模拟预测)已知,且,则的取值范围为(????)

A. B. C. D.

【答案】D

【分析】首先确定,再由基本不等式得到,从而求出的取值范围.

【详解】因为,,则,所以.

又,

即,即,解得,

所以,当且仅当,即时,等号成立,

即的取值范围为.

故选:D.

2.(2024·福建福州·一模)已知集合,,则(????)

A.或 B. C. D.或

【答案】B

【分析】根据分式不等式和一元二次不等式得解法解出集合,再按照集合的并集运算即可.

【详解】,则,且,解得,

则集合,

故选:B.

3.(2024·河北张家口·三模)已知正数m,n满足,则的最大值为(????)

A.5 B.6 C.7 D.8

【答案】D

【分析】在等式两边同时乘以,利用基本不等式可得出关于的不等式,进而可解得的最大值.

【详解】因为m,n为正数,则,当且仅当时,等号成立,

因为,

所以,在等式两边同时乘以,可得:

即,解得.

当且仅当时,即当时,取得最大值8.

故选:D.

4.(2024·山东滨州·二模)下列命题中,真命题的是(????)

A.若,则 B.若,则

C.若,则 D.若,则

【答案】D

【分析】由不等式的性质可判断A,B,C,利用基本不等式,当且仅当时等号成立,即可判断D.

【详解】对于A,由,可得,故A错误;

对于B,由,,,可得,故B错误;

对于C,若,且当时,可得为任意值,故C错误;

对于D,因为,当且仅当时,等号成立,

即,故D正确.

故选:D.

5.(2024·宁夏·二模)直线过函数图象的对称中心,则的最小值为(????)

A.9 B.8 C.6 D.5

【答案】A

【分析】先利用函数图象平移与奇函数的性质求得的对称中心,从而得到,再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.

【详解】因为为奇函数,所以函数图象关于中心对称,

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