专题07 2024年不等式（解析版）.docx

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专题07不等式

1．（2024新课标全国Ⅰ卷）已知函数为的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.

【详解】因为当时，所以，

又因为，

则，

，

，

，

，则依次下去可知，则B正确；

且无证据表明ACD一定正确.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.

2．（2024全国甲卷数学（理）（文））若实数满足约束条件，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】画出可行域后，利用的几何意义计算即可得.

【详解】实数满足，作出可行域如图：

由可得，

即的几何意义为的截距的，

则该直线截距取最大值时，有最小值，

此时直线过点，

联立，解得，即，

则.

故选：D.

3．（2024新高考北京卷）已知，是函数图象上不同的两点，则下列正确的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.

【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，

对于选项AB：可得，即，

根据函数是增函数，所以，故A正确，B错误；

对于选项C：例如，则，

可得，即，故C错误；

对于选项D：例如，则，

可得，即，故D错误，

故选：A.

4．（2024新高考北京卷）若集合表示的图形中，两点间最大距离为d、面积为S，则（????）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域，结合图形分析求解即可.

【详解】对任意给定，则，且，

可知，即，

再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域，

如图阴影部分所示，其中，

可知任意两点间距离最大值；

阴影部分面积.

故选：C.

【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．

5．（2024新高考上海卷）已知则不等式的解集为．

【答案】

【分析】求出方程的解后可求不等式的解集.

【详解】方程的解为或，

故不等式的解集为，

故答案为：.

6．（2024全国甲卷数学（理）（文））实数满足．

(1)证明：；

(2)证明：．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）直接利用即可证明.

（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.

【详解】（1）因为，

当时等号成立，则，

因为，所以;

（2）

一、单选题

1．（2024·广西·模拟预测）已知，且，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先确定，再由基本不等式得到，从而求出的取值范围.

【详解】因为，，则，所以．

又，

即，即，解得，

所以，当且仅当，即时，等号成立，

即的取值范围为.

故选：D．

2．（2024·福建福州·一模）已知集合，，则（????）

A．或 B． C． D．或

【答案】B

【分析】根据分式不等式和一元二次不等式得解法解出集合，再按照集合的并集运算即可.

【详解】，则，且，解得，

则集合，

则

故选：B.

3．（2024·河北张家口·三模）已知正数m，n满足，则的最大值为（????）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】D

【分析】在等式两边同时乘以，利用基本不等式可得出关于的不等式，进而可解得的最大值.

【详解】因为m，n为正数，则，当且仅当时，等号成立，

因为，

所以，在等式两边同时乘以，可得：

，

即，解得.

当且仅当时，即当时，取得最大值8.

故选：D.

4．（2024·山东滨州·二模）下列命题中，真命题的是（????）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【分析】由不等式的性质可判断A,B,C，利用基本不等式，当且仅当时等号成立，即可判断D.

【详解】对于A，由，可得，故A错误；

对于B，由，，，可得，故B错误；

对于C，若，且当时，可得为任意值，故C错误；

对于D，因为，当且仅当时，等号成立，

即，故D正确.

故选：D.

5．（2024·宁夏·二模）直线过函数图象的对称中心，则的最小值为（????）

A．9 B．8 C．6 D．5

【答案】A

【分析】先利用函数图象平移与奇函数的性质求得的对称中心，从而得到，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解．

【详解】因为为奇函数，所以函数图象关于中心对称，