专题01第一章丰富的图形世界(优质类型，10大类型)(原卷版+解析).docxVIP

专题01第一章丰富的图形世界

【专题过关】

类型一、最短路线

【解惑】

1．（2022秋·北京海淀·七年级校考阶段练习）已知是圆锥（如图1）底面的直径，P是圆锥的顶点，此圆锥的侧面展开图如图2所示．一只蚂蚁从A点出发，沿着圆锥侧面经过上一点，最后回到A点．若此蚂蚁所走的路线最短，那么M，N，S，T〈M，N，S，T均在上）四个点中，它最有可能经过的点是（）．

A．M B．N C．S D．T

【融会贯通】

1．（2021·全国·七年级假期作业）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是．

2．（2020秋·七年级单元测试）某同学的茶杯是圆柱形，如图①所示，有一只蚂蚁从A处沿侧面爬行到母线CD的中点B处，如果蚂蚁爬行的路线最短，请利用展开图画出这条最短路线．

解：将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图②所示，则A，B分别位于图②中所示的位置，连接AB，即AB是这条最短路线．

问题：一个正方体放在桌面上，如图③，有一只蚂蚁从A处沿表面爬行到侧棱GF的中点M处，如果蚂蚁爬行的路线最短，这样的路线有几条？请利用展开图画出最短路线．

3．（2020秋·四川南充·七年级统考期末）如图，一只蚂蚁要从正方体纸箱的一个顶点沿表面爬行到顶点.

??

（1）画出正方体的一种展开图.（可适当调整大小.）

（2）在展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线.

（3）在原纸箱图上画出蚂蚁爬行的最短路线.

4．（2019秋·七年级统考单元测试）地上有一个正方体物块，一只蜘蛛在正方体的顶点A处，一只蚊子在正方体的顶点B处，如图所示，现在蜘蛛想尽快捉到这只蚊子，那么它所走的最短路线是怎样的？在图上画出来.这样的最短路线有几条？

5．（2018·湖南邵阳·七年级统考期末）如图，

（1）一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？

（2）如果要爬行到顶点C呢？说出你的理由．

类型二、欧拉公式

【解惑】十八世纪数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（），面数（），棱数（）之间存在一个有趣的数量关系：，这就是著名的欧拉定理．某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点都有3条棱，设该多面体外表面三角形个数是个，八边形的个数是，则．

【融会贯通】

1．（2019秋·四川巴中·七年级统考期末）阅读下面的材料：1750年欧拉在写给哥德巴赫的信中列举了多面体的一些性质，其中一条是，如果用V，E，F分别表示凸多面体的顶点数、棱数、面数，则有V﹣E+F＝2．这个发现就是著名的欧拉定理．根据所阅读的材料，完成：一个多面体的面数为12，棱数是80，则其顶点数为．

2．（2019秋·福建龙岩·七年级统考期末）简单多面体是各个面都是多边形组成的几何体，十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间存在一个有趣的关系式，称为欧拉公式．如表是根据左边的多面体模型列出的不完整的表：

多面体

顶点数

面数

棱数

四面体

4

4

6

长方体

8

6

正八面体

8

12

现在有一个多面体，它的每一个面都是三角形，它的面数（F）和棱数（E）的和为30，则这个多面体的顶点数V＝．

3．（2023秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．

请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：

??

（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：

多面体

顶点数（V）

面数（F）

棱数（E）

四面体

4

4

①

长方体

8

6

12

正八面体

②

8

12

正十二面体

20

12

30

（2）你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是．

（3）一个多面体的面数与顶点数相同，且有12条棱，则这个多面体的面数是．

4．（2018秋·山西·七年级统考阶段练习）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在一个有趣的关系式，这个关系式被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单的多面体模型，解答下列问题：

（1）完成表格：

多面体

顶点数（V）

面数（F）

棱数（E）

四面体

4

4

6

长方体

8

6

12

八面体

6

8

12

某多面体

20

30

你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是F=；（用含V、E的式子表示）

（2）如果一个多面体每个顶点处都有a条棱，那么这个多面体的棱数（E）与顶点数（V）之间的关系式为E=a×V．现有一个二十面体，有12个顶点，每个顶点处有5条棱，那么该二十面体有多少条棱？

（3）某