人教版九年级数学上册24.1.124.1.2圆及垂径定理（10大题型）考点题型精讲（原卷版）.docxVIP

24.1.124.1.2圆及垂径定理

圆的定义(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.

注意：

①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；

②圆是一条封闭曲线.

题型1：圆的概念

1.到圆心的距离不大于半径的点的集合是（）

A．圆的外部 B．圆的内部

C．圆 D．圆的内部和圆

【变式1-1】下列条件中，能确定一个圆的是（）

A．以点O为圆心

B．以10m长为半径

C．以点A为圆心，4cm长为半径

D．经过已知点M

与圆有关的概念

1.弦

弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.

直径：经过圆心的弦叫做直径.

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.

2.弧

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.

半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；

优弧：大于半圆的弧叫做优弧；

劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.

3.同心圆与等圆

圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.

圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.

4.等弧

在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.

题型2：与圆有关的概念

2.判断题(对的打√，错的打×，并说明理由)

①半圆是弧，但弧不一定是半圆；（）

②弦是直径；（）

③长度相等的两段弧是等弧；（）

④直径是圆中最长的弦.（）

【变式2-1】下列说法中，结论错误的是（）

A．直径相等的两个圆是等圆

B．长度相等的两条弧是等弧

C．圆中最长的弦是直径

D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧

【变式2-2】下列说法：

①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．

正确的说法有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

题型3：确定圆心和圆

3.将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．画出该轮的圆心；

【变式3-1】如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．

圆的性质

①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；

②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.

题型4：圆的对称性

4.已知：如图，两个以O为圆心的同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D．求证：AC=BD．

【变式4-1】圆O所在平面上的一点P到圆O上的点的最大距离是10，最小距离是2，求此圆的半径是多少？

【变式4-2】如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点，那么OP的长的取值范围是.

垂径定理及推论

1.垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

2.推论

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

常见辅助线做法：

过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度；

2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．

题型5：垂径定理与计算

5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝10，BE＝2，求弦CD的长．

【变式5-1】如图，AB是⊙O的弦，C为AB的中点，OC的延长线与⊙O交于点D，若CD=2，AB=12，求⊙O的半径．

【变式5-2】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝10cm，CD＝16cm，求AE的长．

题型6：垂径定理与证明

6.如图，AB是⊙O的弦，C、D为直线AB上两点，OC＝OD，求证：AC＝BD.

【变式6-1】已知：如图，AB，AC是⊙O的两条弦，AO平分∠BAC．求证：AB＝AC．

【变式6-2】如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB∥CD，求证：AC

题型7：垂径定理分类讨论问题

7.在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（）cm

A．1 B．3 C．3或4 D．1