部编数学八年级上册专项10用倍长中线法构造全等三角形综合应用（解析版）含答案.pdfVIP

专项10用倍长中线法构造全等三角形综合应用

△ABC中,AD是BC边中线

A

BC

D

方式1：直接倍长延长AD到E，使DE=AD，连接BE

A

BC

D

E

方式2：间接倍长

（1）作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E（2）延长MD到N，使DN=MD，连接CN

AA

F

M

BDCD

BC

E

N

倍长中线法原理：

延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相

延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的

应的顶点，则对应角对应边都对应相等。此法常用于构造全等三角形，利用中线的性

顶点，则对应角对应边都对应相等。此法常用于构造全等三角形，利用中线的性质、

质、辅助线、对顶角一般用“SAS”证明对应边之间的关系。（在一定范

辅助线、对顶角一般用“SAS”证明对应边之间的关系。（在一定范围中）

围中）

【典例1】（2021春•吉安县期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内

经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方

法思考：

（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．

A．SSSB．SASC．AASD．HL

（2）求得AD的取值范围是．

A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7

（3）如2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC

＝BF．

【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中

，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

故选B；

（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，

∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，

∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，

∴1＜AD＜7，

故选C．

（3）证明：

延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，

∵AD是△ABC中线，

∴BD＝DC，

∵在△ADC和△MDB中

，

∴△ADC≌△MDB（SAS），

∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，

∵AE＝EF，

∴∠CAD＝∠AFE，

∵∠AFE＝∠BFD，

∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，

∴BF＝BM＝AC，

即AC＝BF．

【变式1-1】（2021秋•肥西县期末）一个三角形的两边长分别为5和9，设第三边上的中

线长为x，则x的取值范围是（）

A．x＞5B．x＜7C．4＜x＜14D．2＜x＜7

【答案】D

【解答】解：如图，AB＝5，AC＝9，AD为BC边