1.2空间向量基本定理5题型分类（讲+练）（教师版） 2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册）.pdf

1.2空间向量基本定理5题型分类

一、空间向量基本定理

如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.

我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．

二、空间向量的正交分解

1．单位正交基底

如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，

j，k}表示．

如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.

我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．

2．向量的正交分解

由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a=xi+yj+zk.像这样把

一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．

三、空间向量基本定理的应用

∙

1．求异面直线的夹角：cos,=.

||||

2．证明共线(平行)、共面、垂直问题：

≠∥

(1)对于空间任意两个向量、()，的充要条件是存在实数λ，使＝λ.

(2)如果两个向量，不共线，那么向量p与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，

+b

使p＝.

(3)若、是非零向量，则⊥∙=0.

3．求距离(长度)问题：||=∙(||=∙).

（一）

空间向量基底的判断

(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底。基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一

示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同；

(2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念；

(3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就

说明它们都不是零向量.

(4)12

基底的选择一般有两个条件：）基底必须是不共面的非零向量；）在进行基底选择时要尽量选择已

知夹角和长度的向量，这样会让后续计算比较方便．

题型1：空间向量基底的判断

r

rr

1-12024··a,b,c

．高三全国对口高考）已知为空间的一个基底，则下列各选项能构成基底的是）

rrrrrrr

A．rrrB．

a,a-2b,a+ba+b,a-b,c