模块六立体几何大招4内切球与球的相切问题的临界处理.pdf

4

大招内切球与球的相切问题的临界处理

1．内切球与球的相切问题

对于内切球与球的相切问题，无论是柱体切球、锥体切球、台体切球、某几何体中能放的最

大球、还是球与球相切，我们处理此类问题的基本逻辑都是去寻找这些几何体之间刚好卡住

的临界情况，并且根据此情况直接找空间关系或找一个特殊截面转化为平面问题，从而解决

问题．

2．求内切球半径的两种方法

①等体积法：先将几何体（一般为棱锥）的内切球球心与几何体各个顶点用线段连接，如图

11

VSrSrSS

所示，运用等体积法就有（，，…为几何体各表面的面积），于是

1212

33

3V

就有r，其中r为几何体内切球的半径，V为几何体的体积，S为几何体的表面积．

S

②平面化：通过找特殊截面（一般为球的截面刚好与几何体截面相切的截面），将立体几何

问题转化为平面问题，从而通过求得某几何图形的内切圆半径，求出原问题中内切球的半径．

试卷第1页，共7页

【典例】将一个棱长为的正四面体同一侧面上的各棱中点两两连接，得到一多面体，则

14

这个多面体的内切球体积为（）

42886

A．πB．C．πD．π

32727

【大招指引】确定正八面体的结构特征，即由棱长为的两个正四棱锥构成，且正四棱锥的

2

底面为边长为的正方形，求出正四棱锥的高，根据等体积法求解内切球的半径，即可算出

2

内切球的体积.

【解析】由题意知该几何体为正八面体，且正八面体的棱为原正四面体每个侧面三角形的中

位线，

故正八面体由棱长为的两个正四棱锥构成，正四棱锥的底面是边长为的正方形，

22

设正八面体内切球半径，给正八面体标出字母如图所示，

R

连接和交于点，因为EAEC，，所以EOAC，EOBD，

ACBDO

又和交于点，平面，所以平面，

ACBDOABCDABCD

所以为正八面体的中心，所以到八个面的距离相等，距离即为内切球半径，

OO

设内切球与平面切于点，所以平面，

EBCHEBC

所以即为正八面体内切球半径，所以，

OH

因为正八面体的棱长为2，所以EBECBC2，OBOC2，，

试卷第2页，共7页

所以S△EBC3，，

因为，，

66

所以OH，即R，

33

所以正八面体内切球的体积为.

故选：D.

【题后反思】多面体