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§5.3n为整数时贝塞尔方程的通解当n为整数时与是线性相关的。
此时定义第二类贝塞尔函数为：（n为整数）是贝塞尔方程的一个特解。问题：找与线性无关的特解。
和线性无关其中C为欧拉常数。
方程的通解可写为综上，贝塞尔方程的通解可写为
§5.4贝塞尔函数的递推公式首先考虑零阶和一阶贝塞尔函数之间的关系。目标：建立不同阶贝塞尔函数之间的递推公式。当n=0,1,2…时，
分别令n=0及n=1得:
微分的第k+2项是的第项的负值。
我们有
即一般的,有
上面两式左边的导数求出来,并经过化简
两式相加减分别消去和
若知道的值,就可以求出进而得到任意正整数阶贝塞尔函数的值。贝塞尔函数的递推公式。(1)---(6)式为注
对于第二类贝塞尔函数,也有相应的递推公式：
这里微分算子表示算子连续作用m次的缩写.n为半奇数,可以用初等函数来表示:例
例求不定积分P127.6(1)取n=1,则有解
例利用递推公式证明P128.16(2)分别令n=1,n=2,得解：将(1)式乘2，求导，然后减去(2)式，得
即
课后作业P127-128习题五5.6(2).16(1).17.
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