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结构力学基础概念：虚功原理：结构的虚功方程推导

1结构力学基础概念：虚功原理

1.1绪论

1.1.1虚功原理的历史背景

虚功原理是力学中的一个基本概念，其历史可以追溯到17世纪。最早，这

一原理由意大利数学家和物理学家伽利略·伽利莱（GalileoGalilei）提出，他使

用这一原理来分析物体的平衡状态。然而，虚功原理的现代形式是由瑞士数学

家莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler）和法国数学家约瑟夫·路易·拉格朗日

（Joseph-LouisLagrange）在18世纪发展起来的。虚功原理在经典力学、结构力

学、连续介质力学以及现代物理学的多个领域中都有广泛的应用。

1.1.2虚功原理在结构力学中的应用

在结构力学中，虚功原理被用来分析结构的平衡和稳定性。它提供了一种

方法，通过考虑结构在虚拟位移下的能量变化，来判断结构是否处于平衡状态。

虚功原理的核心思想是，如果一个结构处于平衡状态，那么在任何虚拟位移下，

外力做的虚功与内力做的虚功之和为零。这一原理在解决复杂结构问题时，提

供了一种简洁而强大的工具。

1.2虚功原理的数学表述

虚功原理的数学表述可以表示为：

=+=0

外力内力

其中，外力是外力在虚拟位移下做的虚功，内力是内力在虚拟位移下

做的虚功。虚位移是指在约束条件下，结构可能发生的任意小位移，它与实

际位移无关，仅用于分析结构的平衡状态。

1.3虚功原理的推导

1.3.1外力的虚功

考虑一个结构受到外力的作用，结构在虚拟位移下的外力虚功可以表

示为：

=⋅

外力

⋅

这里，和都是向量，表示向量的点积。

1

1.3.2内力的虚功

内力的虚功涉及到结构内部的应力和应变。在弹性范围内，内力虚功可以

表示为：

∫

内力=:

:

其中，是应力张量，是应变张量的虚拟变化，表示应力张量和应变张

量之间的双点积，是体积微元。

1.3.3虚功原理的平衡条件

将外力虚功和内力虚功相加，根据虚功原理，如果结构处于平衡状态，则

有：

外力+内力=⋅+∫=0

这一方程表明，在任何虚拟位移下，外力和内力所做的虚功之和为零，这

是结构处于平衡状态的必要条件。

1.4虚功原理的应用实例

1.4.1实例：简支梁的平衡分析

考虑一个简支梁，长度为，受到均布荷载的作用。我们可以通过虚功原

理来分析梁的平衡状态。

1.4.1.1虚位移的设定

假设梁在垂直方向上的虚位移为，其中是梁的坐标。

1.4.1.2外力的虚功

外力虚功由均布荷载在虚位移下计算得到：

外力=