结构力学基础概念：虚功原理：虚功原理与能量原理的关系.pdf

结构力学基础概念：虚功原理：虚功原理与能量原理的关

系

1结构力学与虚功原理简介

在结构力学领域，虚功原理是一个核心概念，它提供了一种分析结构在各

种载荷作用下行为的有效方法。虚功原理基于能量守恒的原理，通过比较结构

在真实位移和虚拟位移下的能量变化，来判断结构的平衡状态。这一原理在工

程设计和分析中有着广泛的应用，特别是在解决复杂结构的平衡和稳定性问题

时。

1.1虚功原理的数学表述

虚功原理可以数学化地表述为：对于任何处于平衡状态的结构，其在任意

虚拟位移下的外力虚功等于其在相同虚拟位移下的内力虚功。用公式表示为：

=

外内

其中，外表示外力在虚拟位移上的虚功，内表示内力在虚拟位移上的

虚功。

1.2虚功原理的应用

虚功原理在结构分析中的应用主要体现在以下几个方面：

结构平衡分析：通过虚功原理，可以判断结构在给定载荷下的平

衡状态，无需求解详细的应力分布。

结构稳定性分析：虚功原理可以用来分析结构的稳定性，即结构

在微小扰动下是否能够恢复到平衡状态。

能量法求解结构问题：虚功原理是能量法的基础，能量法可以用

来求解结构的位移、应力和应变等问题，尤其适用于复杂结构的分析。

1.2.1示例：使用虚功原理分析简支梁的平衡状态

假设有一简支梁，长度为，受到均匀分布载荷的作用。我们可以通过虚

功原理来分析其平衡状态。

1.计算外力虚功：假设梁在中点产生一个微小的垂直位移，则外

力虚功为外=⋅⋅

2

2.计算内力虚功：梁的内力主要为弯矩，在中点的弯矩为。假

8

12

=⋅⋅

设梁的截面惯性矩为，弹性模量为，则内力虚功为内28。

12

3.比较虚功：根据虚功原理，=，即⋅⋅=⋅⋅。

外内28

通过这个等式，我们可以求解梁的位移，进而分析梁的平衡状态。

1

2能量原理在结构分析中的应用概述

能量原理是结构力学中的另一个重要概念，它基于能量守恒和最小势能原

理，用于分析结构的平衡、稳定性以及求解结构的位移和应力等问题。能量原

理与虚功原理紧密相关，虚功原理实际上是能量原理在特定条件下的应用。

2.1最小势能原理

最小势能原理指出，在给定的边界条件下，结构的真实位移将使总势能达

到最小值。总势能由外力势能和内能组成，即：

=−