方程组练习题及答案.pdf

方程组练习题及答案

1.三元一次方程组练习题

解答：

考虑以下三元一次方程组：

(1)2x+y+3z=10

(2)x-y+z=2

(3)3x-2y+4z=4

首先，我们可以用消元法来求解这个方程组。将方程组写成增广矩

阵的形式：

[213|10]

[1-11|2]

[3-24|4]

对矩阵进行初等行变换，使其转化为行最简形式：

[10-1|3]

[012|-2]

[000|0]

经过初等行变换，我们可以得到方程组的等价方程：

x-z=3...(4)

y+2z=-2...(5)

由于等号右侧都是0，在求解方程组时我们可以选择2个变量作为

自由变量。假设z=t和x=u，则根据(4)式可以得到：

x=t+3

z=t

将上述结果代入(5)式，可以得到：

y=-2-2t

因此，方程组的通解为：

x=t+3

y=-2-2t

z=t

2.二元二次方程组练习题

解答：

考虑以下二元二次方程组：

(1)x^2-y^2=9

(2)x+y=5

我们可以用消元法来解这个方程组。将方程组写成增广矩阵的形式：

[1-1|9]

[11|5]

再次进行初等行变换，将矩阵转化为行最简形式：

[10|7]

[01|-2]

由此可得方程组的唯一解：

x=7

y=-2

3.三元二次方程组练习题

解答：

考虑以下三元二次方程组：

(1)x^2+y^2+z^2=14

(2)x^2+2y^2-z^2=5

(3)x-y+z=3

我们可以使用代入法来解这个方程组。首先，从(3)式中解出x，并

将其代入(1)和(2)式中，得到：

y^2+z^2=11...(4)

y^2-3z^2=2...(5)

接下来，将(5)式乘以2并与(4)式相加，得到：

3y^2=24

解得y^2=8，进一步解得y=±2√2。将此结果代入(4)式或(5)式中，

可以得到：

z^2=3(当y=2√2时)

z^2=-1(当y=-2√2时)

由于方程组是二次方程，所以z^2必须是非负的，因此只有当y=

2√2时，方程组才有解。

将y=2√2代入(3)式，可以得到：

x=5-y-z=5-2√2-z

因此，方程组的解为：

x=5-2√2-z

y=2√2

z=z(z为任意实数)

总结：

本文通过三个不同类型的方程组练习题，介绍了解方程组常用的解

题方法。对于三元一次方程组，我们可以使用消元法将系数矩阵转化

为行最简形式，从而求出方程组的通解。对于二元二次方程组，我们

可以通过消元法得到唯一解。而对于三元二次方程组，我们则需要结

合代入法来求解。通过这些例题的练习，相信读者对方程组的解法有

了更深入的理解。