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结构力学数值方法：谐波平衡法与傅里叶级数

1绪论

1.1结构力学中的非线性问题

在结构力学领域，非线性问题普遍存在，尤其是在涉及大变形、材料非线

性、接触问题和几何非线性等复杂情况时。非线性问题的求解往往比线性问题

更为复杂，因为它们的解可能不是唯一的，且解的形式通常不能用简单的数学

表达式表示。非线性问题的求解方法包括增量法、迭代法、非线性有限元法等，

其中谐波平衡法是一种专门用于求解周期性非线性振动问题的数值方法。

1.2数值方法在结构力学中的应用

数值方法在结构力学中的应用广泛，它们能够处理复杂的边界条件、非线

性材料特性以及多自由度系统。常见的数值方法有有限元法(FEM)、边界元法

(BEM)、有限差分法(FDM)、谐波平衡法(HBM)等。这些方法通过将连续问题离

散化，转化为一系列离散的方程组，然后通过计算机求解这些方程组来获得问

题的近似解。

1.3谐波平衡法简介

谐波平衡法(HarmonicBalanceMethod,HBM)是一种用于求解非线性振动问

题的数值方法。它基于傅里叶级数展开，将非线性系统的响应表示为一系列谐

波的组合。这种方法特别适用于处理周期性激励下的非线性振动问题，因为它

能够直接求解系统的稳态响应，而无需经历时间域的积分过程。

1.3.1原理

考虑一个非线性振动系统，其运动方程可以表示为：

++=

其中，是质量，是阻尼系数，是非线性恢复力，是周期性激励

力。假设激励力可以表示为：

=cos

0

谐波平衡法将系统的响应表示为傅里叶级数：

∞

=cos

0

其中，和分别是第个谐波的幅值和相位。将响应的傅里叶级数代入

运动方程，然后利用谐波平衡条件，可以得到一系列关于幅值和相位的代数方

程。通过求解这些方程，可以获得系统的稳态响应。

1

1.3.2示例

假设有一个单自由度非线性振动系统，其运动方程为：

3

+0.1++=5cos2

我们使用谐波平衡法求解该系统的稳态响应。首先，假设响应可以表示为：

=cos2+cos4

01

代入运动方程，利用谐波平衡条件，可以得到关于和的代数方程组。

01

求解这个方程组，可以获得系统的稳态响应。

1.3.3代码示例

下面是一个使用Python和SciPy库求解上述非线性振动系统稳态响应的示

例代码：

importnumpyasnp

fromscipy.optimizeimportfsolve

#定义非线性恢复力函数

deff(x):

returnx+x**3

#定义谐波平衡方程组

defharmonic_balance(X):

X0,X1=X

#代入运动方程，利用谐波平衡条件

eq1=-4*X0-0.2*X0-X0